Álgebra Exemplos

$7^{x - 3} = 4 \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (7^{x - 3}) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Etapa 2

Expanda $\ln (7^{x - 3})$ movendo $x - 3$ para fora do logaritmo.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$ como $\ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$

Etapa 4

Expanda $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ movendo $\frac{x}{2}$ para fora do logaritmo.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x}{2} \ln (5)$

Etapa 5

Combine $\frac{x}{2}$ e $\ln (5)$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Etapa 6

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Simplifique $(x - 3) \ln (7)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (7) - 3 \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique $- 3 \ln (7)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (7) - \ln (7^{3}) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Etapa 6.1.1.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$x \ln (7) - \ln (343) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (7) - \ln (343) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = 0$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1

Some $\ln (343)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (7) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343)$

Etapa 6.3.2

Some $\ln (4)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Etapa 6.4

Fatore $x$ de $x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $x \ln (7)$ .

$x (\ln (7)) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Etapa 6.4.2

Fatore $x$ de $- \frac{x \ln (5)}{2}$ .

$x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Etapa 6.4.3

Fatore $x$ de $x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2})$ .

$x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Etapa 6.5

Divida cada termo em $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ por $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.5.1

Divida cada termo em $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ por $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

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Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.3.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.3.1.1.1

Para escrever $\ln (7)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.1.2

Combine $\ln (7)$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (7)$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \ln (343) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.3

Combine $\ln (343)$ e $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (343) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (343)$ .

$x = \frac{2 \cdot \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.3.1.5.1

Para escrever $\ln (7)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.5.2

Combine $\ln (7)$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (7)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}}$

Etapa 6.5.3.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \ln (4) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 6.5.3.1.7

Combine $\ln (4)$ e $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 6.5.3.1.8

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 6.5.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 6.5.3.2.2

Fatore $2$ de $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

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Etapa 6.5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \ln (343)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 6.5.3.2.2.2

Fatore $2$ de $2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 6.5.3.2.2.3

Fatore $2$ de $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 6.33024935 \dots$