Álgebra Exemplos

$\sqrt[3]{x + 1} = 2 x + 2$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 1)}^{1} = {(2 x + 2)}^{3}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$x + 1 = {(2 x + 2)}^{3}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(2 x + 2)}^{3}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Use o teorema binomial.

$x + 1 = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$x + 1 = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.4

Multiplique $2^{2}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.4.1

Mova $2$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2 \cdot 2^{2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.2.4.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{1} \cdot 2^{2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{1 + 2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.4.3

Some $1$ e $2$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{3} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (8 x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.6

Multiplique $8$ por $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.7

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.7.1

Mova $2^{2}$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2} \cdot 2 x) + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.7.2

Multiplique $2^{2}$ por $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.7.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2} \cdot 2^{1} x) + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2 + 1} x) + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.7.3

Some $2$ e $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{3} x) + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (8 x) + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.9

Multiplique $8$ por $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 2^{3}$

Etapa 2.3.1.2.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8 = x + 1$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8 - x = 1$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x$ de $24 x$ .

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 8 = 1$

Etapa 3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 8 - 1 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Etapa 3.5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.875, \pm 3.5, \pm 1.75$

Etapa 3.5.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.5.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Etapa 3.5.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Etapa 3.5.3.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 8 + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Etapa 3.5.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 + 23 \cdot - 1 + 7$

Etapa 3.5.3.5

Multiplique $24$ por $1$ .

$- 8 + 24 + 23 \cdot - 1 + 7$

Etapa 3.5.3.6

Some $- 8$ e $24$ .

$16 + 23 \cdot - 1 + 7$

Etapa 3.5.3.7

Multiplique $23$ por $- 1$ .

$16 - 23 + 7$

Etapa 3.5.3.8

Subtraia $23$ de $16$ .

$- 7 + 7$

Etapa 3.5.3.9

Some $- 7$ e $7$ .

$0$

Etapa 3.5.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7}{x + 1}$

Etapa 3.5.5

Divida $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ por $x + 1$ .

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Etapa 3.5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$23 x$

$7$

Etapa 3.5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$8 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$

Etapa 3.5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			+	$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Etapa 3.5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Etapa 3.5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Etapa 3.5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$

Etapa 3.5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$

Etapa 3.5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 3.5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x^{2} + 16 x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$

Etapa 3.5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$

Etapa 3.5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$

Etapa 3.5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$

Etapa 3.5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							+	$7 x$	+	$7$

Etapa 3.5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x + 7$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							-	$7 x$	-	$7$

Etapa 3.5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							-	$7 x$	-	$7$
										$0$

Etapa 3.5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$8 x^{2} + 16 x + 7$

Etapa 3.5.6

Escreva $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (8 x^{2} + 16 x + 7) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.8

Defina $8 x^{2} + 16 x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $8 x^{2} + 16 x + 7$ como igual a $0$ .

$8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$

Etapa 3.8.2

Resolva $8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.8.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.8.2.2

Substitua os valores $a = 8$ , $b = 16$ e $c = 7$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 7)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.2.3.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 8 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 8 \cdot 7$ .

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Etapa 3.8.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.1.2.2

Multiplique $- 32$ por $7$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.1.3

Subtraia $224$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.8.2.3.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.8.2.3.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Etapa 3.8.2.3.3

Simplifique $\frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.8.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (8 x^{2} + 16 x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 1, - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$x = - 1, - 0.64644660 \dots, - 1.35355339 \dots$