Álgebra Exemplos

$6 x {(3 x - 1)}^{2} + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$

Etapa 1

Fatore $2 x$ de $6 x {(3 x - 1)}^{2} + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $2 x$ de $6 x {(3 x - 1)}^{2}$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$

Etapa 1.2

Fatore $2 x$ de $2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x (x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x (x {(1 - 3 x)}^{2})$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2} + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 2

Reescreva ${(3 x - 1)}^{2}$ como $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$2 x (3 ((3 x - 1) (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 3

Expanda $(3 x - 1) (3 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (3 (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (3 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (3 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x (3 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Mova $x$ .

$2 x (3 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x (3 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$2 x (3 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 4.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 6 x + 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$2 x (27 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 6.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Etapa 7

Reescreva ${(1 - 3 x)}^{2}$ como $(1 - 3 x) (1 - 3 x)$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x ((1 - 3 x) (1 - 3 x)))$

Etapa 8

Expanda $(1 - 3 x) (1 - 3 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 (1 - 3 x) - 3 x (1 - 3 x)))$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 \cdot 1 + 1 (- 3 x) - 3 x (1 - 3 x)))$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 \cdot 1 + 1 (- 3 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Etapa 9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 + 1 (- 3 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 3 x$ por $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 x (- 3 x)))$

Etapa 9.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 x \cdot x))$

Etapa 9.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Mova $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 (x \cdot x)))$

Etapa 9.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 x^{2}))$

Etapa 9.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x + 9 x^{2}))$

Etapa 9.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 6 x + 9 x^{2}))$

Etapa 10

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x \cdot 1 + x (- 6 x) + x (9 x^{2}))$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x + x (- 6 x) + x (9 x^{2}))$

Etapa 11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x \cdot x + x (9 x^{2}))$

Etapa 11.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x \cdot x + 9 x \cdot x^{2})$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 (x \cdot x) + 9 x \cdot x^{2})$

Etapa 12.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x \cdot x^{2})$

Etapa 12.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 (x^{2} x))$

Etapa 12.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 (x^{2} x^{1}))$

Etapa 12.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x^{2 + 1})$

Etapa 12.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x^{3})$

Etapa 13

Subtraia $6 x^{2}$ de $27 x^{2}$ .

$2 x (21 x^{2} - 18 x + 3 + x + 9 x^{3})$

Etapa 14

Some $- 18 x$ e $x$ .

$2 x (21 x^{2} - 17 x + 3 + 9 x^{3})$

Etapa 15

Reordene os termos.

$2 x (9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3)$

Etapa 16

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Reescreva $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Fatore $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Etapa 16.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 3$

Etapa 16.1.1.3

Substitua $0.\overline{3}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.\overline{3}$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1.3.1

Substitua $0.\overline{3}$ no polinômio.

$9 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Etapa 16.1.1.3.2

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$9 \cdot 0.\overline{037} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Etapa 16.1.1.3.3

Multiplique $9$ por $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{3} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Etapa 16.1.1.3.4

Eleve $0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$0.\overline{3} + 21 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Etapa 16.1.1.3.5

Multiplique $21$ por $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 2.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Etapa 16.1.1.3.6

Some $0.\overline{3}$ e $2.\overline{3}$ .

$2.\overline{6} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Etapa 16.1.1.3.7

Multiplique $- 17$ por $0.\overline{3}$ .

$2.\overline{6} - 5.\overline{6} + 3$

Etapa 16.1.1.3.8

Subtraia $5.\overline{6}$ de $2.\overline{6}$ .

$- 3 + 3$

Etapa 16.1.1.3.9

Some $- 3$ e $3$ .

$0$

Etapa 16.1.1.4

Como $0.\overline{3}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3}{3 x - 1}$

Etapa 16.1.1.5

Divida $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ por $3 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$17 x$

$3$

Etapa 16.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$

Etapa 16.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			+	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 16.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 16.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$

Etapa 16.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$

Etapa 16.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $24 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$

Etapa 16.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 16.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $24 x^{2} - 8 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 16.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$

Etapa 16.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$

Etapa 16.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$

Etapa 16.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	+	$3$

Etapa 16.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x + 3$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	-	$3$

Etapa 16.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	-	$3$
										$0$

Etapa 16.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Etapa 16.1.1.6

Escreva $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ como um conjunto de fatores.

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + 8 x - 3))$

Etapa 16.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e cuja soma é $b = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + 8 (x) - 3))$

Etapa 16.1.2.1.1.2

Reescreva $8$ como $- 1$ mais $9$

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3))$

Etapa 16.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3))$

Etapa 16.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 x ((3 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3))$

Etapa 16.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x ((3 x - 1) (x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)))$

Etapa 16.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$2 x ((3 x - 1) ((3 x - 1) (x + 3)))$

Etapa 16.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x ((3 x - 1) (3 x - 1) (x + 3))$

Etapa 16.1.3

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.3.1

Eleve $3 x - 1$ à potência de $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{1} (3 x - 1) (x + 3))$

Etapa 16.1.3.2

Eleve $3 x - 1$ à potência de $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{1} (x + 3))$

Etapa 16.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x ({(3 x - 1)}^{1 + 1} (x + 3))$

Etapa 16.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{2} (x + 3))$

Etapa 16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x {(3 x - 1)}^{2} (x + 3)$