Álgebra Exemplos

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ movendo $5 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Etapa 4

Expanda $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$ movendo $2 x$ para fora do logaritmo.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 5

Reescreva $\ln (\frac{3}{2})$ como $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Etapa 6.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.3

Expanda $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Etapa 6.2

Simplifique $2 x (\ln (3) - \ln (2))$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 x (- \ln (2))$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 x \ln (2)$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) - 2 x \ln (2)$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $2 x \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) = - 2 x \ln (2)$

Etapa 6.3.2

Some $2 x \ln (2)$ aos dois lados da equação.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 x \ln (2) = 0$

Etapa 6.3.3

Some $5 x \ln (2)$ e $2 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Etapa 6.3.4

Subtraia $2 x \ln (3)$ de $- 5 x \ln (3)$ .

$2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $2 \ln (2)$ dos dois lados da equação.

$- 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2)$

Etapa 6.4.2

Some $2 \ln (3)$ aos dois lados da equação.

$- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Etapa 6.5

Fatore $7 x$ de $- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2)$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $7 x$ de $- 7 x \ln (3)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Etapa 6.5.2

Fatore $7 x$ de $7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Etapa 6.5.3

Fatore $7 x$ de $7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Etapa 6.6

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Etapa 6.7

Divida cada termo em $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ por $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ e simplifique.

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Etapa 6.7.1

Divida cada termo em $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ por $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ .

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Etapa 6.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.7.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 6.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Etapa 6.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Etapa 6.7.2.2

Cancele o fator comum de $- \ln (3) + \ln (2)$ .

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Etapa 6.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Etapa 6.7.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Etapa 6.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{285714}$