Álgebra Exemplos

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2} (x - 1) - x^{3}$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 5.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 5.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (3 x + 3 \cdot - 1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x - 3 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 5.4

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 6

Para escrever $- \frac{2 x}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.1.3

Fatore $x$ de $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.4

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x (2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.5.1

Mova $x$ .

$\frac{x (2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x + 0 - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.9

Some $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{x (- 3 x - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 8.10

Subtraia $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x (- 5 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 9

Simplifique com fatoração.

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Etapa 9.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 9.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 9.3

Fatore $- 1$ de $- (5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 9.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.4.1

Reescreva $- (5 x + 2)$ como $- 1 (5 x + 2)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 9.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (5 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$