Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

Etapa 1

Fatore $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Etapa 1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Etapa 1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Etapa 1.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $4$ .

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Etapa 1.3.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 41$ por $1$ .

$5 - 41 + 36$

Etapa 1.3.8

Subtraia $41$ de $5$ .

$- 36 + 36$

Etapa 1.3.9

Some $- 36$ e $36$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

Etapa 1.5

Divida $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{6}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{6} + x^{5}$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{5} - x^{4}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

Etapa 1.5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Etapa 1.5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 36 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Etapa 1.5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Etapa 1.5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 36 x^{2} - 36 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Etapa 1.5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Etapa 1.5.26

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Etapa 1.5.27

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $36 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Etapa 1.5.28

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Etapa 1.5.29

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $36 x + 36$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Etapa 1.5.30

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

Etapa 1.5.31

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

Etapa 1.6

Escreva $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36)$

Etapa 2

Reagrupe os termos.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 3

Fatore $x$ de $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$f (x) = (x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $5 x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $- 36 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 3.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 6

Fatore $u^{2} + 5 u - 36$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 36$ e cuja soma é $5$ .

$- 4, 9$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 10

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36)$

Etapa 11

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36)$

Etapa 12

Fatore por agrupamento.

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Etapa 12.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 12.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 u$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36)$

Etapa 12.1.2

Reescreva $- 5$ como $4$ mais $- 9$

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36)$

Etapa 12.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36)$

Etapa 12.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 12.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36)$

Etapa 12.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4))$

Etapa 12.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 4$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9))$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9))$

Etapa 14

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9))$

Etapa 15

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9))$

Etapa 16

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f (x) = (x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9))$

Etapa 17

Fatore $x^{2} + 9$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 17.1

Fatore $x^{2} + 9$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9))$

Etapa 17.2

Fatore $x^{2} + 9$ de $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x)))$

Etapa 17.3

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 18

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 19

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 20

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 21

Expanda $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 21.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 21.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 22.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 22.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 22.1.3.1

Mova $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.2

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 22.3

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x)))$

Etapa 23

Expanda $(2 + x) (2 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x)))$

Etapa 23.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x)))$

Etapa 23.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x)))$

Etapa 24

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x)))$

Etapa 24.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x)))$

Etapa 24.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x)))$

Etapa 24.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x))$

Etapa 24.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 24.1.5.1

Mova $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x)))$

Etapa 24.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2}))$

Etapa 24.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2}))$

Etapa 24.3

Some $4$ e $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2}))$

Etapa 25

Reordene os termos.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4))$

Etapa 26

Fatore.

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Etapa 26.1

Fatore.

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Etapa 26.1.1

Reescreva $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ em uma forma fatorada.

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Etapa 26.1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 26.1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4))$

Etapa 26.1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)))$

Etapa 26.1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4)))$

Etapa 26.1.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})))$

Etapa 26.1.1.4

Fatore.

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Etapa 26.1.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))))$

Etapa 26.1.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2)))$

Etapa 26.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2))$

Etapa 26.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)$