Álgebra Exemplos

${(\frac{49}{81})}^{x + 1} \geq \frac{9}{7}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1})$ movendo $x + 1$ para fora do logaritmo.

$(x + 1) \ln (\frac{49}{81}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{49}{81})$ como $\ln (49) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (81)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (81)$ como $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (3^{4})) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 2.4

Expanda $\ln (3^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$(x + 1) (\ln (49) - (4 \ln (3))) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 2.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ .

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Etapa 3.1.1

Expanda $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $\ln (49)$ por $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 4 \ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 3.1.2.2

Reordene os fatores em $x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) - \ln (\frac{9}{7}) = 0$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49}{\frac{9}{7}}) - 4 \ln (3) = 0$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49 (\frac{7}{9})) - 4 \ln (3) = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $49 (\frac{7}{9})$ .

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Etapa 6.2.1

Combine $49$ e $\frac{7}{9}$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49 \cdot 7}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique $49$ por $7$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $\ln (\frac{343}{9})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) - 4 \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9})$

Etapa 7.2

Some $4 \ln (3)$ aos dois lados da equação.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Etapa 8

Fatore $x$ de $x \ln (49) - 4 x \ln (3)$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x \ln (49)$ .

$x (\ln (49)) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Etapa 9

Divida cada termo em $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ por $\ln (49) - 4 \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ por $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (\frac{343}{9})$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.3.3

Fatore $- 1$ de $4 \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.3.4

Fatore $- 1$ de $- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.5.1

Reescreva $- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ como $- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 9.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}]$

Etapa 12