Algebra Examples

$\frac{9}{2 z^{2} + 6 z - 36} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 1.1

Simplify the denominator.

Tap for more steps...

Step 1.1.1

Factor $2$ out of $2 z^{2} + 6 z - 36$ .

Tap for more steps...

Step 1.1.1.1

Factor $2$ out of $2 z^{2}$ .

$\frac{9}{2 (z^{2}) + 6 z - 36} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.1.1.2

Factor $2$ out of $6 z$ .

$\frac{9}{2 (z^{2}) + 2 (3 z) - 36} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.1.1.3

Factor $2$ out of $- 36$ .

$\frac{9}{2 z^{2} + 2 (3 z) + 2 \cdot - 18} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.1.1.4

Factor $2$ out of $2 z^{2} + 2 (3 z)$ .

$\frac{9}{2 (z^{2} + 3 z) + 2 \cdot - 18} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.1.1.5

Factor $2$ out of $2 (z^{2} + 3 z) + 2 \cdot - 18$ .

$\frac{9}{2 (z^{2} + 3 z - 18)} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.1.2

Factor $z^{2} + 3 z - 18$ using the AC method.

Tap for more steps...

Step 1.1.2.1

Consider the form $x^{2} + b x + c$ . Find a pair of integers whose product is $c$ and whose sum is $b$ . In this case, whose product is $- 18$ and whose sum is $3$ .

$- 3, 6$

Step 1.1.2.2

Write the factored form using these integers.

$\frac{9}{2 ((z - 3) (z + 6))} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{6 z + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.2

Cancel the common factor of $6 z + 2$ and $2 z^{2} + 4 z - 30$ .

Tap for more steps...

Step 1.2.1

Factor $2$ out of $6 z$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z) + 2}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.2.2

Factor $2$ out of $2$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z) + 2 \cdot 1}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.2.3

Factor $2$ out of $2 (3 z) + 2 (1)$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 z^{2} + 4 z - 30}$

Step 1.2.4

Cancel the common factors.

Tap for more steps...

Step 1.2.4.1

Factor $2$ out of $2 z^{2}$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2}) + 4 z - 30}$

Step 1.2.4.2

Factor $2$ out of $4 z$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2}) + 2 (2 z) - 30}$

Step 1.2.4.3

Factor $2$ out of $2 (z^{2}) + 2 (2 z)$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z) - 30}$

Step 1.2.4.4

Factor $2$ out of $- 30$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z) + 2 \cdot - 15}$

Step 1.2.4.5

Factor $2$ out of $2 (z^{2} + 2 z) + 2 \cdot - 15$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z - 15)}$

Step 1.2.4.6

Cancel the common factor.

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{2 (3 z + 1)}{2 (z^{2} + 2 z - 15)}$

Step 1.2.4.7

Rewrite the expression.

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{3 z + 1}{z^{2} + 2 z - 15}$

Step 1.3

Factor $z^{2} + 2 z - 15$ using the AC method.

Tap for more steps...

Step 1.3.1

Consider the form $x^{2} + b x + c$ . Find a pair of integers whose product is $c$ and whose sum is $b$ . In this case, whose product is $- 15$ and whose sum is $2$ .

$- 3, 5$

Step 1.3.2

Write the factored form using these integers.

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$

Step 2

To write $\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{z + 5}{z + 5}$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} \cdot \frac{z + 5}{z + 5} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$

Step 3

To write $- \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$ .

$\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)} \cdot \frac{z + 5}{z + 5} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)} \cdot \frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$

Step 4

Write each expression with a common denominator of $2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)$ , by multiplying each by an appropriate factor of $1$ .

Tap for more steps...

Step 4.1

Multiply $\frac{9}{2 (z - 3) (z + 6)}$ by $\frac{z + 5}{z + 5}$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)} - \frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)} \cdot \frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$

Step 4.2

Multiply $\frac{3 z + 1}{(z - 3) (z + 5)}$ by $\frac{2 (z + 6)}{2 (z + 6)}$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)} - \frac{(3 z + 1) (2 (z + 6))}{(z - 3) (z + 5) (2 (z + 6))}$

Step 4.3

Reorder the factors of $2 (z - 3) (z + 6) (z + 5)$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)} - \frac{(3 z + 1) (2 (z + 6))}{(z - 3) (z + 5) (2 (z + 6))}$

Step 4.4

Reorder the factors of $(z - 3) (z + 5) (2 (z + 6))$ .

$\frac{9 (z + 5)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)} - \frac{(3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 5

Combine the numerators over the common denominator.

$\frac{9 (z + 5) - (3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6

Simplify the numerator.

Tap for more steps...

Step 6.1

Apply the distributive property.

$\frac{9 z + 9 \cdot 5 - (3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.2

Multiply $9$ by $5$ .

$\frac{9 z + 45 - (3 z + 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.3

Apply the distributive property.

$\frac{9 z + 45 + (- (3 z) - 1 \cdot 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.4

Multiply $3$ by $- 1$ .

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1 \cdot 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.5

Multiply $- 1$ by $1$ .

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1) (2 (z + 6))}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.6

Apply the distributive property.

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1) (2 z + 2 \cdot 6)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.7

Multiply $2$ by $6$ .

$\frac{9 z + 45 + (- 3 z - 1) (2 z + 12)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.8

Expand $(- 3 z - 1) (2 z + 12)$ using the FOIL Method.

Tap for more steps...

Step 6.8.1

Apply the distributive property.

$\frac{9 z + 45 - 3 z (2 z + 12) - 1 (2 z + 12)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.8.2

Apply the distributive property.

$\frac{9 z + 45 - 3 z (2 z) - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z + 12)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.8.3

Apply the distributive property.

$\frac{9 z + 45 - 3 z (2 z) - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9

Simplify and combine like terms.

Tap for more steps...

Step 6.9.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 6.9.1.1

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$\frac{9 z + 45 - 3 \cdot 2 z \cdot z - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.1.2

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 6.9.1.2.1

Move $z$ .

$\frac{9 z + 45 - 3 \cdot 2 (z \cdot z) - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.1.2.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{9 z + 45 - 3 \cdot 2 z^{2} - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.1.3

Multiply $- 3$ by $2$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 3 z \cdot 12 - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.1.4

Multiply $12$ by $- 3$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 36 z - 1 (2 z) - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.1.5

Multiply $2$ by $- 1$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 36 z - 2 z - 1 \cdot 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.1.6

Multiply $- 1$ by $12$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 36 z - 2 z - 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.9.2

Subtract $2 z$ from $- 36 z$ .

$\frac{9 z + 45 - 6 z^{2} - 38 z - 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.10

Subtract $38 z$ from $9 z$ .

$\frac{- 29 z + 45 - 6 z^{2} - 12}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.11

Subtract $12$ from $45$ .

$\frac{- 29 z - 6 z^{2} + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 6.12

Reorder terms.

$\frac{- 6 z^{2} - 29 z + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7

Simplify with factoring out.

Tap for more steps...

Step 7.1

Factor $- 1$ out of $- 6 z^{2}$ .

$\frac{- (6 z^{2}) - 29 z + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7.2

Factor $- 1$ out of $- 29 z$ .

$\frac{- (6 z^{2}) - (29 z) + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7.3

Factor $- 1$ out of $- (6 z^{2}) - (29 z)$ .

$\frac{- (6 z^{2} + 29 z) + 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7.4

Rewrite $33$ as $- 1 (- 33)$ .

$\frac{- (6 z^{2} + 29 z) - 1 (- 33)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7.5

Factor $- 1$ out of $- (6 z^{2} + 29 z) - 1 (- 33)$ .

$\frac{- (6 z^{2} + 29 z - 33)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7.6

Simplify the expression.

Tap for more steps...

Step 7.6.1

Rewrite $- (6 z^{2} + 29 z - 33)$ as $- 1 (6 z^{2} + 29 z - 33)$ .

$\frac{- 1 (6 z^{2} + 29 z - 33)}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$

Step 7.6.2

Move the negative in front of the fraction.

$- \frac{6 z^{2} + 29 z - 33}{2 (z + 5) (z + 6) (z - 3)}$