삼각법 예제

$16 y^{2} - 9 x^{2} - 32 y - 72 x - 272 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $272$ 를 더합니다.

$16 y^{2} - 9 x^{2} - 32 y - 72 x = 272$

단계 1.2

$16 y^{2} - 32 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 32$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 16}{16}$

단계 1.2.3.2.2

$- 16$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 32$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

단계 1.2.4.2.1.3

$1024$ 을 $64$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 16$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 16$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$e = - 16$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ 에 대입합니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

단계 1.3

$16 y^{2} - 32 y$ 를 $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ 로 바꿔 방정식 $16 y^{2} - 9 x^{2} - 32 y - 72 x = 272$ 에 대입합니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 16 - 9 x^{2} - 72 x = 272$

단계 1.4

양변에 $16$ 을 더하여 $- 16$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 9 x^{2} - 72 x = 272 + 16$

단계 1.5

$- 9 x^{2} - 72 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$- 72$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$- 72$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 36}{- 9}$

단계 1.5.3.2.2

$- 36$ 및 $- 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$- 36$ 에서 $- 9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$- 9$ 에서 $- 9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{4}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 4$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 72$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

단계 1.5.4.2.1.3

$5184$ 을 $- 36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 144$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 144$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 144$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 를 $144$ 에 더합니다.

$e = 144$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 9 {(x + 4)}^{2} + 144$ 에 대입합니다.

$- 9 {(x + 4)}^{2} + 144$

단계 1.6

$- 9 x^{2} - 72 x$ 를 $- 9 {(x + 4)}^{2} + 144$ 로 바꿔 방정식 $16 y^{2} - 9 x^{2} - 32 y - 72 x = 272$ 에 대입합니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 9 {(x + 4)}^{2} + 144 = 272 + 16$

단계 1.7

양변에 $144$ 을 더하여 $144$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 9 {(x + 4)}^{2} = 272 + 16 - 144$

단계 1.8

$272 + 16 - 144$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$272$ 를 $16$ 에 더합니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 9 {(x + 4)}^{2} = 288 - 144$

단계 1.8.2

$288$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$16 {(y - 1)}^{2} - 9 {(x + 4)}^{2} = 144$

단계 1.9

각 항을 $144$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} - \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 3$

$b = 4$

$k = 1$

$h = - 4$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 4, 1)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

단계 5.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + 16}$

단계 5.3.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\sqrt{25}$

단계 5.3.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{5^{2}}$

단계 5.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$5$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4, 4)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $k$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - a)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4, - 2)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h, k \pm a)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(- 4, 4), (- 4, - 2)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4, 6)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4, - 4)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(- 4, 6), (- 4, - 4)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

단계 8.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

단계 8.3.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

단계 8.3.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

단계 8.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{3}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{4^{2}}{5}$

단계 9.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{16}{5}$

단계 10

쌍곡선이 위아래로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) + 1$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) + 1$

단계 11.2

$\frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 4) + 1$

단계 11.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 11.2.1.3

$\frac{3}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 11.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 11.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

단계 11.2.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) + 1$

단계 12.2

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 4) + 1$

단계 12.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 12.2.1.3

$x$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 12.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.1

$- \frac{3}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 12.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 + 1$

단계 12.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 + 1$

단계 12.2.1.5

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = - \frac{3 x}{4} - 3 + 1$

단계 12.2.2

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - \frac{3 x}{4} - 2$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{3 x}{4} + 4, y = - \frac{3 x}{4} - 2$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 4, 1)$

꼭짓점: $(- 4, 4), (- 4, - 2)$

초점: $(- 4, 6), (- 4, - 4)$

이심률: $\frac{5}{3}$

초점 변수: $\frac{16}{5}$

점근선: $y = \frac{3 x}{4} + 4$ , $y = - \frac{3 x}{4} - 2$

단계 15