삼각법 예제

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (y)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

단계 2.3

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (y)}$

단계 2.4

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (y)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \cos (y)$ .

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단계 3.1.1

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$ 에 $\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

단계 3.1.2

조합합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.3

소거하고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1

$\cos (x) \cos (y)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (y)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.3.2

$\cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

$- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (y) \cos (x) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 에서 $\cos (x) \cos (y)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$\cos (x) \cos (y) \cdot 1$ 에서 $\cos (x) \cos (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

단계 3.4.1.2

$\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 에서 $\cos (x) \cos (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.4.1.3

$\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ 에서 $\cos (x) \cos (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

단계 3.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

단계 3.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

단계 3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

단계 3.4.5

지수를 묶습니다.

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단계 3.4.5.1

$\frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y)}$

단계 3.4.5.2

$\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$ 와 $\cos (y)$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

단계 3.4.6

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 3.4.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

단계 3.4.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

단계 3.4.7

$\cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

단계 3.4.7.2

$\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 3.5

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (y) \sin (x) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- \cos (x) \sin (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 4.2

$\cos (y) \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 4.3

$- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 4.4

$- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ 을 $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 5

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 을 $\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

단계 6

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ 은 항등식입니다