삼각법 예제

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

단계 1

항등식 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 를 사용하여 $2 \sec^{2} (θ)$ 를 $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ 로 바꿉니다.

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

단계 2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

단계 3

다항식을 다시 정렬합니다.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

단계 4

방정식에 $u = \tan^{2} (θ)$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

단계 5

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

단계 6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

단계 7

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- u^{2} + 2 u + 3$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- u^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

단계 7.1.2

$2 u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

단계 7.1.3

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

단계 7.1.4

$- (u^{2}) - (- 2 u)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

단계 7.1.5

$- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

단계 7.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 2 u - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 3, 1$

단계 7.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

단계 7.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

단계 8

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

단계 9

$u - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 3 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$u = 3$

단계 10

$u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 1 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$u = - 1$

단계 11

$- (u - 3) (u + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 3, - 1$

단계 12

풀어진 방정식에 $u = \tan^{2} (θ)$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

단계 13

첫 번째 방정식을 $\tan (θ)$ 에 대해 풉니다.

$\tan^{2} (θ) = 3$

단계 14

$\tan (θ)$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

단계 14.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

단계 14.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

단계 14.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 15

두 번째 방정식을 $\tan (θ)$ 에 대해 풉니다.

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

단계 16

$\tan (θ)$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

괄호를 제거합니다.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

단계 16.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

단계 16.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$\tan (θ) = \pm i$

단계 16.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\tan (θ) = i$

단계 16.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\tan (θ) = - i$

단계 16.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\tan (θ) = i, - i$

단계 17

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ 의 해는 $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ 입니다.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

단계 18

각 식에 대하여 $θ$ 를 구합니다.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

단계 19

$\tan (θ) = \sqrt{3}$ 의 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

탄젠트 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

단계 19.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 의 정확한 값은 $60$ 입니다.

$θ = 60$

단계 19.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 제4사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $180$ 에서 기준각을 뺍니다.

$θ = 180 + 60$

단계 19.4

$180$ 를 $60$ 에 더합니다.

$θ = 240$

단계 19.5

$\tan (θ)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.5.1

함수의 주기는 $\frac{180}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{180}{| b |}$

단계 19.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{180}{| 1 |}$

단계 19.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{180}{1}$

단계 19.5.4

$180$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$180$

단계 19.6

함수 $\tan (θ)$ 의 주기는 $180$ 이므로 양 방향으로 $180$ 도마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$

단계 20

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$ 의 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

탄젠트 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

단계 20.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 의 정확한 값은 $- 60$ 입니다.

$θ = - 60$

단계 20.3

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $180$ 에서 기준각을 뺍니다.

$θ = - 60 - 180$

단계 20.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.1

$- 60 - 180 °$ 에 $360 °$ 를 더합니다.

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

단계 20.4.2

결과 각인 $120 °$ 은 양의 값을 가지며 $- 60 - 180$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$θ = 120 °$

단계 20.5

$\tan (θ)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.5.1

함수의 주기는 $\frac{180}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{180}{| b |}$

단계 20.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{180}{| 1 |}$

단계 20.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{180}{1}$

단계 20.5.4

$180$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$180$

단계 20.6

모든 음의 각에 $180$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.6.1

$- 60$ 에 $180$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 60 + 180$

단계 20.6.2

$180$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$120$

단계 20.6.3

새 각을 나열합니다.

$θ = 120$

단계 20.7

함수 $\tan (θ)$ 의 주기는 $180$ 이므로 양 방향으로 $180$ 도마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$

단계 21

$\tan (θ) = i$ 의 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

탄젠트 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$θ = \arctan (i)$

단계 21.2

$\arctan (i)$ 의 역 탄젠트가 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 22

$\tan (θ) = - i$ 의 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

탄젠트 안의 $θ$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$θ = \arctan (- i)$

단계 22.2

$\arctan (- i)$ 의 역 탄젠트가 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 23

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$

단계 24

해를 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

$60 + 180 n$ , $240 + 180 n$ 를 $60 + 180 n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$

단계 24.2

$120 + 180 n$ , $120 + 180 n$ 를 $120 + 180 n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$