기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

단계 1

식 $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = \frac{3}{4}$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ 이고 합이 $b = - 14$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$- 14 x$ 에서 $- 14$ 를 인수분해합니다.

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

단계 5.1.1.2

$- 14$ 를 $- 2$ + $- 12$ 로 다시 씁니다.

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

단계 5.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

단계 5.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

단계 5.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

단계 5.1.3

최대공약수 $12 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

단계 5.2

$(12 x - 1) (2 x - 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.4

괄호를 제거합니다.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.5

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.6

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.7

괄호를 제거합니다.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.8

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.9

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.10

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.13

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.14

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.15

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

단계 5.2.16

$- 12 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

단계 5.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

단계 5.4

피제수 $24 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

단계 5.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

단계 5.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $24 x^{2} - 18 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

단계 5.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

단계 5.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

단계 5.9

피제수 $4 x$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

단계 5.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

단계 5.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x - 3$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

단계 5.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

단계 5.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

단계 5.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 6 x + 1$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = \frac{3}{4}$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 6 x + 1$

단계 7