기초 미적분 예제

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ 를 뺍니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

단계 2

$1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

하나의 분수로 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

단계 2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

단계 2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

단계 2.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x + 4$ 입니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

단계 2.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

단계 2.2.3.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

단계 2.2.3.4

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

단계 2.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

단계 2.3.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

단계 2.3.3

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

단계 2.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

단계 3

방정식의 양변에 $- 16$ 을 곱합니다.

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.1

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4.1.1.1.2

$- 16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4.1.1.2.2

${(y - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

단계 4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

단계 4.2.1.2

$16$ 와 $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ 을 묶습니다.

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

단계 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

단계 6

$\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ 을 ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$16 (x + 7) (x + 1)$ 에서 완전제곱인 ${(2^{2})}^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

단계 6.1.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 6.1.3

분수 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

단계 6.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

단계 6.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

단계 6.4

$\frac{4}{3}$ 와 $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

단계 7.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

단계 7.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

단계 7.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

단계 7.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

단계 8

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 9.2

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 9.2.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 9.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 9.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9.4

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 7, - 1$

단계 9.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

단계 9.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 9.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

단계 9.6.1.3

좌변 $27$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.6.2

$- 7 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.2.1

$- 7 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 9.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

단계 9.6.2.3

좌변 $- 9$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.6.3

$x > - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.3.1

$x > - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

단계 9.6.3.3

좌변 $7$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < - 1$ 거짓

$x > - 1$ 참

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < - 1$ 거짓

$x > - 1$ 참

단계 9.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 7$ 또는 $x \geq - 1$

단계 10

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

단계 11

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

단계 12

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

단계 13