기초 미적분 예제

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 16 = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y = - 16$

단계 2

$x^{2} - 2 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 2.3.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

단계 2.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

단계 2.4.2.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

단계 2.4.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

단계 2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 1$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = - 1$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - 1)}^{2} - 1$ 에 대입합니다.

${(x - 1)}^{2} - 1$

단계 3

$x^{2} - 2 x$ 를 ${(x - 1)}^{2} - 1$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y = - 16$ 에 대입합니다.

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 8 y = - 16$

단계 4

양변에 $1$ 을 더하여 $- 1$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = - 16 + 1$

단계 5

$y^{2} - 8 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 4}{1}$

단계 5.3.2.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 4$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4}$

단계 5.4.2.1.3

$64$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 16$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 16$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$e = - 16$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y - 4)}^{2} - 16$ 에 대입합니다.

${(y - 4)}^{2} - 16$

단계 6

$y^{2} - 8 y$ 를 ${(y - 4)}^{2} - 16$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y = - 16$ 에 대입합니다.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - 16 + 1$

단계 7

양변에 $16$ 을 더하여 $- 16$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - 16 + 1 + 16$

단계 8

$- 16 + 1 + 16$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 16$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - 15 + 16$

단계 8.2

$- 15$ 를 $16$ 에 더합니다.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$

단계 9

원의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 원의 중심과 반지름을 구합니다.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

단계 10

이 원에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $r$ 은 원의 반지름을 나타내며 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리를 나타냅니다.

$r = 1$

$h = 1$

$k = 4$

단계 11

원의 중심은 $(h, k)$ 에 있습니다.

중심: $(1, 4)$

단계 12

이는 원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(1, 4)$

반지름: $1$

단계 13