기초 미적분 예제

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 64 y + 289 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $289$ 를 뺍니다.

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 64 y = - 289$

단계 1.2

$25 x^{2} - 250 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 25$

$b = - 250$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 250}{2 \cdot 25}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 250$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 250$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 25}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 25$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 (25)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 125}{2 \cdot 25}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 125}{25}$

단계 1.2.3.2.2

$- 125$ 및 $25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 125$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$25$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{25 \cdot - 5}{25 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 5}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 5$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 250)}^{2}}{4 \cdot 25}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 250$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot 25}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{62500}{100}$

단계 1.2.4.2.1.3

$62500$ 을 $100$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 625$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $625$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 625$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $625$ 을 뺍니다.

$e = - 625$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $25 {(x - 5)}^{2} - 625$ 에 대입합니다.

$25 {(x - 5)}^{2} - 625$

단계 1.3

$25 x^{2} - 250 x$ 를 $25 {(x - 5)}^{2} - 625$ 로 바꿔 방정식 $25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 64 y = - 289$ 에 대입합니다.

$25 {(x - 5)}^{2} - 625 + 16 y^{2} + 64 y = - 289$

단계 1.4

양변에 $625$ 을 더하여 $- 625$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 y^{2} + 64 y = - 289 + 625$

단계 1.5

$16 y^{2} + 64 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$64$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{32}{16}$

단계 1.5.3.2.2

$32$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{2}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 2$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$64$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

단계 1.5.4.2.1.3

$4096$ 을 $64$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 64$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 64$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$e = - 64$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ 에 대입합니다.

$16 {(y + 2)}^{2} - 64$

단계 1.6

$16 y^{2} + 64 y$ 를 $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ 로 바꿔 방정식 $25 x^{2} + 16 y^{2} - 250 x + 64 y = - 289$ 에 대입합니다.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} - 64 = - 289 + 625$

단계 1.7

양변에 $64$ 을 더하여 $- 64$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = - 289 + 625 + 64$

단계 1.8

$- 289 + 625 + 64$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$- 289$ 를 $625$ 에 더합니다.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 336 + 64$

단계 1.8.2

$336$ 를 $64$ 에 더합니다.

$25 {(x - 5)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 400$

단계 1.9

각 항을 $400$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{25 {(x - 5)}^{2}}{400} + \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{25} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 5$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = 5$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(5, - 2)$

단계 5