기초 미적분 예제

$4 y^{2} - 24 y - 2 x^{2} + 20 x = 22$

단계 1

$4 y^{2} - 24 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

단계 1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

단계 1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

$- 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

단계 1.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

단계 1.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

단계 1.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 12}{4}$

단계 1.3.2.2

$- 12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$- 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

단계 1.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

단계 1.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

단계 1.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 3}{1}$

단계 1.3.2.2.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 3$

단계 1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

$- 24$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

단계 1.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{576}{16}$

단계 1.4.2.1.3

$576$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 36$

단계 1.4.2.1.4

$- 1$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 36$

단계 1.4.2.2

$0$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$e = - 36$

단계 1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 36$

단계 2

$4 y^{2} - 24 y$ 를 $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ 로 바꿔 방정식 $4 y^{2} - 24 y - 2 x^{2} + 20 x = 22$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 36 - 2 x^{2} + 20 x = 22$

단계 3

양변에 $36$ 을 더하여 $- 36$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 2 x^{2} + 20 x = 22 + 36$

단계 4

$- 2 x^{2} + 20 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 2$

$b = 20$

$c = 0$

단계 4.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 4.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{20}{2 \cdot - 2}$

단계 4.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$20$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot - 2}$

단계 4.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (- 2)}$

단계 4.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot - 2}$

단계 4.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{10}{- 2}$

단계 4.3.2.2

$10$ 및 $- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (5)}{- 2}$

단계 4.3.2.2.2

$\frac{5}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 5$

단계 4.3.2.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$d = - 5$

단계 4.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot - 2}$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1.1

$20$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 2}$

단계 4.4.2.1.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{400}{- 8}$

단계 4.4.2.1.3

$400$ 을 $- 8$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 50$

단계 4.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 50$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 50$

단계 4.4.2.2

$0$ 를 $50$ 에 더합니다.

$e = 50$

단계 4.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 2 {(x - 5)}^{2} + 50$ 에 대입합니다.

$- 2 {(x - 5)}^{2} + 50$

단계 5

$- 2 x^{2} + 20 x$ 를 $- 2 {(x - 5)}^{2} + 50$ 로 바꿔 방정식 $4 y^{2} - 24 y - 2 x^{2} + 20 x = 22$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 2 {(x - 5)}^{2} + 50 = 22 + 36$

단계 6

양변에 $50$ 을 더하여 $50$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 2 {(x - 5)}^{2} = 22 + 36 - 50$

단계 7

$22 + 36 - 50$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$22$ 를 $36$ 에 더합니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 2 {(x - 5)}^{2} = 58 - 50$

단계 7.2

$58$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$4 {(y - 3)}^{2} - 2 {(x - 5)}^{2} = 8$

단계 8

각 항을 $8$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 {(y - 3)}^{2}}{8} - \frac{2 {(x - 5)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

단계 9

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 1$