기초 미적분 예제

${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$ 의 경우 $n = 3$ 이므로 전개식의 계수는 선 $4$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 3 - 3 - 1$ 입니다.

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

단계 3

$a$ $\frac{1}{3} x$ 및 $b$ $y^{2}$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(\frac{1}{3} x)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

${(\frac{x}{3})}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.3

$\frac{x}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3}}{3^{3}} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{x^{3}}{27} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.5

${(y^{2})}^{0}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} y^{2 \cdot 0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.5.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} y^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{27} \cdot 1 + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.7

$\frac{x^{3}}{27}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.9

$\frac{x}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.10

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{9} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.11

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.11.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 (3)} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.12

${(y^{2})}^{1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2 \cdot 1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.12.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.13

$\frac{x^{2}}{3}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.14

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.15

간단히 합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.16

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.16.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.16.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.17

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.17.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{2 \cdot 2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.17.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.18

${(\frac{1}{3} x)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.19

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{x}{3})}^{0} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.20

$\frac{x}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{x^{0}}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.21

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.22

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{1} {(y^{2})}^{3}$

단계 4.23

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(y^{2})}^{3}$

단계 4.24

${(y^{2})}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(y^{2})}^{3}$

단계 4.25

${(y^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.25.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{2 \cdot 3}$

단계 4.25.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{6}$