기초 미적분 예제

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

단계 1

매개변수 방정식 $x (t)$ 를 세워 방정식 $t$ 을 풉니다.

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

단계 2

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

단계 3

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

단계 3.2.1.1.2

$\sqrt{4 - t^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

단계 3.2.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

단계 3.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = t$ 입니다.

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

단계 4

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ 을(를) ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 + t) (2 - t)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.1.3

$t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.1.5

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1.5.1

$t$ 를 옮깁니다.

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.1.5.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.2

$- 2 t$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.3.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.2.1.4

간단히 합니다.

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${(\frac{x}{4})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\frac{x}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

단계 5.3.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

단계 6

$t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

단계 6.2

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.2.2.2

$t^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.2.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ 을 $- \frac{x^{2}}{16}$ 로 바꿔 씁니다.

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 6.2.3.1.3

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

단계 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

단계 6.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

단계 6.4.1.2

$\frac{x^{2}}{16}$ 을 ${(\frac{x}{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

단계 6.4.1.3

$- {(\frac{x}{4})}^{2}$ 와 $2^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

단계 6.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = \frac{x}{4}$ 입니다.

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.4

$2$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.6

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.8

$2$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

단계 6.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

단계 6.4.10

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

단계 6.4.11

$\frac{8 + x}{4}$ 에 $\frac{8 - x}{4}$ 을 곱합니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

단계 6.4.12

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

단계 6.4.13

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ 을 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.13.1

$(8 + x) (8 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

단계 6.4.13.2

$16$ 에서 완전제곱인 $4^{2}$ 인수를 묶습니다.

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

단계 6.4.13.3

분수 $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

단계 6.4.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

단계 6.4.15

$\frac{1}{4}$ 와 $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 을 묶습니다.

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

단계 6.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

단계 6.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

단계 6.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

단계 7

$x$ 에 대한 방정식을 얻기 위하여 $y$ 의 방정식에서 $t$ 를 바꿉니다.

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

단계 8

$3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

단계 8.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ 입니다.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

단계 8.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

행렬의 각 원소에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

단계 8.1.3.2

$- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

단계 8.1.3.2.2

$\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

단계 8.2

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

단계 8.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

단계 8.2.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.3

$8$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.4

$8$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.5

$8$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.6

$8$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.7

$8$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.8

$8$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.9

$8$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

단계 8.2.2.10

$8$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$