기초 미적분 예제

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} y = \frac{1}{32}$

단계 1

$x^{2} - \frac{1}{4} x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x^{2} - \frac{x}{4}$

단계 1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 0$

단계 1.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- 1$ 및 $1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2}$

단계 1.4.2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.4.2.3

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$d = - \frac{1}{2 \cdot 4}$

단계 1.4.2.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$d = - \frac{1}{8}$

단계 1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1.1

$- \frac{1}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2.1.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2.1.1.3

$\frac{1}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2.1.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2.1.1.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{16})}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2.1.1.6

$\frac{1}{16}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4}$

단계 1.5.2.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e = 0 - (\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4})$

단계 1.5.2.1.4

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.4.1

$\frac{1}{16}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{16 \cdot 4}$

단계 1.5.2.1.4.2

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{64}$

단계 1.5.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{64}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{64}$

단계 1.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$

단계 2

$x^{2} - \frac{1}{4} x$ 를 ${(x - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} y = \frac{1}{32}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64} + y^{2} + \frac{1}{4} y = \frac{1}{32}$

단계 3

양변에 $\frac{1}{64}$ 을 더하여 $- \frac{1}{64}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{1}{4} y = \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

단계 4

$y^{2} + \frac{1}{4} y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{4}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$y^{2} + \frac{y}{4}$

단계 4.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = 0$

단계 4.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 4.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.2.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$

단계 4.4.2.3

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.3.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$d = \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 4.4.2.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{1}{8}$

단계 4.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 4.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 4.5.2.1.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

단계 4.5.2.1.1.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4 \cdot 1}$

단계 4.5.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4}$

단계 4.5.2.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e = 0 - (\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4})$

단계 4.5.2.1.4

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.4.1

$\frac{1}{16}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{16 \cdot 4}$

단계 4.5.2.1.4.2

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{64}$

단계 4.5.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{64}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{64}$

단계 4.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y + \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$ 에 대입합니다.

${(y + \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$

단계 5

$y^{2} + \frac{1}{4} y$ 를 ${(y + \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} y = \frac{1}{32}$ 에 대입합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64} = \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

단계 6

양변에 $\frac{1}{64}$ 을 더하여 $- \frac{1}{64}$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64}$

단계 7

$\frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{1 + 1}{64}$

단계 7.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{2}{64}$

단계 7.3

$2$ 및 $64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{2 (1)}{64}$

단계 7.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

단계 7.3.2.2

공약수로 약분합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

단계 7.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{32} + \frac{1}{32}$

단계 7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1 + 1}{32}$

단계 7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{2}{32}$

단계 7.6

$2$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{2 (1)}{32}$

단계 7.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.2.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16}$

단계 7.6.2.2

공약수로 약분합니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16}$

단계 7.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

${(x - \frac{1}{8})}^{2} + {(y + \frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{16}$

단계 8

원의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 원의 중심과 반지름을 구합니다.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

단계 9

이 원에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $r$ 은 원의 반지름을 나타내며 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리를 나타냅니다.

$r = \frac{1}{4}$

$h = \frac{1}{8}$

$k = - \frac{1}{8}$

단계 10

원의 중심은 $(h, k)$ 에 있습니다.

중심: $(\frac{1}{8}, - \frac{1}{8})$

단계 11

이는 원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(\frac{1}{8}, - \frac{1}{8})$

반지름: $\frac{1}{4}$

단계 12