기초 미적분 예제

$\ln (3) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 5 \ln (1 + \sqrt{x})$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (3) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 5 \ln (1 + \sqrt{x})$

단계 1.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 5 \ln (1 + \sqrt{x})$ 을 간단히 합니다.

$\ln (3) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{5})$

단계 2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{5})$

단계 3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{5}})$

단계 4

이항정리 이용

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{5} + 5 \cdot 1^{4} \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \cdot 1^{4} \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \cdot 1 \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 \cdot 1^{3} {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.5

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 {\sqrt{x}}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{\frac{2}{2}} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{\frac{2}{2}} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x^{1} + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.6.5

간단히 합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \cdot 1^{2} {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.8

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 {\sqrt{x}}^{3} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.9

${\sqrt{x}}^{3}$ 을 $\sqrt{x^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \sqrt{x^{3}} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.10

$x^{2}$ 로 인수분해합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 \sqrt{x^{2} x} + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 (x \sqrt{x}) + 5 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.12

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 {\sqrt{x}}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13

${\sqrt{x}}^{4}$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{4}{2}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.13.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.13.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{\frac{2}{1}} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.13.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + {\sqrt{x}}^{5}})$

단계 5.14

${\sqrt{x}}^{5}$ 을 $\sqrt{x^{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + \sqrt{x^{5}}})$

단계 5.15

$x^{5}$ 을 ${(x^{2})}^{2} x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.15.1

$x^{4}$ 로 인수분해합니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + \sqrt{x^{4} x}})$

단계 5.15.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}})$

단계 5.16

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 5 \sqrt{x} + 10 x + 10 x \sqrt{x} + 5 x^{2} + x^{2} \sqrt{x}})$