기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

단계 1

함수들의 몫을 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{f (x)}{g (x)}$ 의 함수 기호에 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 의 실제 함수를 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

단계 1.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

단계 1.2.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

단계 1.2.3

$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 에 $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

단계 1.2.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 에 $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

단계 1.2.4.2

$\sqrt{x - 2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

단계 1.2.4.3

$\sqrt{x - 2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

단계 1.2.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

단계 1.2.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

단계 1.2.4.6

${\sqrt{x - 2}}^{2}$ 을 $x - 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - 2}$ 을(를) ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.2.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

단계 1.2.4.6.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

단계 1.2.5

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ 에 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

단계 2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x - 2}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 \geq 0$

단계 3

부등식 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x \geq 2$

단계 4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 5.2

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 5.3

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 5.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 5.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 5.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5.5

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3, 2$

단계 6

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 2, x \neq 3}$

단계 7