기초 미적분 예제

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

단계 1

코사인의 정의를 이용하여 단위원 직각삼각형의 알려진 변의 길이를 구합니다. 사분면에 의해 각 값의 부호가 결정됩니다.

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{밑변}{빗변}$

단계 2

단위원 삼각형의 대변을 구합니다. 밑변과 빗변의 길이가 주어졌으므로 피타고라스 정리를 이용하여 나머지 변을 구합니다.

$반대 = \sqrt{{빗변}^{2} - {밑변}^{2}}$

단계 3

방정식에 알고 있는 값을 대입합니다.

$반대 = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

단계 4

근호 안을 간단히 합니다.

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단계 4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 입니다.

대변 $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

대변 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

단계 4.2.2

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

대변 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 4.2.3

$- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

대변 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

단계 4.2.3.2

$\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

대변 $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 5

사인의 정의를 사용해 $\sin (\frac{5 π}{8})$ 의 값을 구합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{대변}{빗변}$

단계 6

주어진 값을 대입합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.1.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.3

인수분해된 형태로 $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ 를 다시 씁니다.

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단계 7.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.3.3

$- - \sqrt{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.3.3.2

$\sqrt{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

단계 7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

단계 7.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

단계 7.7

$\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ 에 $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

단계 7.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

단계 7.9

$\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.9.1

$(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

단계 7.9.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 7.9.3

분수 $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

단계 7.10

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

단계 7.11

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ 을 묶습니다.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

단계 8

$\sin (\frac{5 π}{16})$ 의 값을 구합니다.

$0.83146961$

단계 9

값을 $0.83146961$ 에 대입합니다.

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$