기초 미적분 예제

$(3, - 2)$ , $(- 2, 3)$

단계 1

원의 지름은 원의 중심을 통과하고 끝점이 원의 둘레에 위치한 임의의 직선 선분입니다. 주어진 지름의 끝점은 $(3, - 2)$ 와 $(- 2, 3)$ 입니다. 원의 중심점은 지름의 중심이므로 $(3, - 2)$ 와 $(- 2, 3)$ 의 중점이 됩니다. 이 경우 중점은 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 입니다.

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단계 1.1

중점 공식을 사용하여 선분의 중점을 찾습니다.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

단계 1.2

$(x_{1}, y_{1})$ 와 $(x_{2}, y_{2})$ 값을 대입합니다.

$(\frac{3 - 2}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

단계 1.3

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$(\frac{1}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

단계 1.4

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

단계 2

원의 반지름 $r$ 을 구합니다. 반지름은 원의 중심과 원둘레 상의 임의의 한 점을 이은 임의의 선분입니다. 이 경우에 $r$ 은 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 와 $(3, - 2)$ 사이의 거리입니다.

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단계 2.1

거리 공식을 사용해 두 점 사이의 거리를 알아냅니다.

$거리 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

단계 2.2

점의 실제값을 거리 공식에 대입합니다.

$r = \sqrt{{(3 - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$r = \sqrt{{(3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.2

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$r = \sqrt{{(\frac{6 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.4.2

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$r = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.5

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.6

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.9

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.11.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 4 - 1}{2})}^{2}}$

단계 2.3.11.2

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

단계 2.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

단계 2.3.13

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 2.3.13.1

$- \frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

단계 2.3.13.2

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

단계 2.3.14

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.14.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

단계 2.3.14.2

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

단계 2.3.14.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

단계 2.3.14.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}}$

단계 2.3.14.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$r = \sqrt{\frac{25 + 25}{4}}$

단계 2.3.14.6

$25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$r = \sqrt{\frac{50}{4}}$

단계 2.3.15

$50$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.15.1

$50$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$r = \sqrt{\frac{2 (25)}{4}}$

단계 2.3.15.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.15.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

단계 2.3.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

단계 2.3.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \sqrt{\frac{25}{2}}$

단계 2.3.16

$\sqrt{\frac{25}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

단계 2.3.17

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.17.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

단계 2.3.17.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{5}{\sqrt{2}}$

단계 2.3.18

$\frac{5}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$r = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 2.3.19

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.3.19.1

$\frac{5}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 2.3.19.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 2.3.19.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 2.3.19.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 2.3.19.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 2.3.19.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.3.19.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.3.19.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.3.19.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.3.19.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.19.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.3.19.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

단계 2.3.19.6.5

지수값을 계산합니다.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

단계 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ 은 반지름이 $r$ 이고 중심점이 $(h, k)$ 인 원의 방정식입니다. 이 경우, $r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ 이고 중심점은 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 입니다. 원의 방정식은 ${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$ 입니다.

${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

단계 4

원의 방정식은 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$ 입니다.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$

단계 5