기초 미적분 예제

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x + h)}^{3} x^{3}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ 에 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 에 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.3.3

${(x + h)}^{3} x^{3}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5

인수분해된 형태로 $\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ 를 다시 씁니다.

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단계 1.5.1

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = x + h$ 입니다.

$\frac{\frac{(x + x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2

간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x \cdot x - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.2.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - (x \cdot x) - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.4

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + (x + h) (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

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단계 1.5.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x (x + h) + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.6.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.6.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

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단계 1.5.2.6.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + h x + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.6.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.7

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.8

$0$ 에서 $x h$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (- x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.9

$- x h$ 를 $2 h x$ 에 더합니다.

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단계 1.5.2.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - 1 h x + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.9.2

$- 1 h x$ 를 $2 h x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + 1 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 1.5.2.10

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 3

조합합니다.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2}) \cdot 1}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2 x + h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

단계 4.2

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} h {(x + h)}^{3}}$