기초 미적분 예제

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

단계 4.1.2

$9$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

단계 4.1.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

단계 4.1.4

$- 9$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

단계 4.1.5

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

단계 4.1.6

$- 58$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

단계 4.1.7

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$144$ 를 $72$ 에 더합니다.

$216 - 232 - 8 + 24$

단계 4.2.2

$216$ 에서 $232$ 을 뺍니다.

$- 16 - 8 + 24$

단계 4.2.3

$- 16$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 24 + 24$

단계 4.2.4

$- 24$ 를 $24$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- 2$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

단계 6.2

피제수 $(9)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

단계 6.3

제수 $(- 2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(9)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 18)$ 을 피제수 $(- 9)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

단계 6.5

제수 $(- 2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 27)$ 을 곱하여 나온 값 $(54)$ 을 피제수 $(- 58)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

단계 6.7

제수 $(- 2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 4)$ 을 곱하여 나온 값 $(8)$ 을 피제수 $(4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

단계 6.9

제수 $(- 2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(12)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 24)$ 을 피제수 $(24)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

단계 8

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

단계 9

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

단계 10

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

단계 11

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

단계 11.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

단계 12

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 12.1

항을 다시 묶습니다.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.2

$- 9 x^{3} + 4 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 9 x^{3}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.2.2

$4 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.2.3

$- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.3

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.6

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

단계 12.7

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

단계 12.8

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ 이고 합이 $b = - 58$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1.1

$- 58 u$ 에서 $- 58$ 를 인수분해합니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

단계 12.8.1.2

$- 58$ 를 $- 4$ + $- 54$ 로 다시 씁니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

단계 12.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

단계 12.8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

단계 12.8.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

단계 12.8.3

최대공약수 $9 u - 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

단계 12.9

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

단계 12.10

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

단계 12.11

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

단계 12.12

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

단계 12.13

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ 에서 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.13.1

$- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ 에서 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

단계 12.13.2

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ 에서 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

단계 12.14

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

단계 12.15

AC 방법을 이용하여 $- u + u^{2} - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.15.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2$

단계 12.15.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

단계 12.16

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.16.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

단계 12.16.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

단계 13

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 14

$3 x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$3 x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 2 = 0$

단계 14.2

$3 x + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$3 x = - 2$

단계 14.2.2

$3 x = - 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

$3 x = - 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

단계 14.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

단계 14.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{3}$

단계 14.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{2}{3}$

단계 15

$3 x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$3 x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 2 = 0$

단계 15.2

$3 x - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$3 x = 2$

단계 15.2.2

$3 x = 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$3 x = 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

단계 15.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

단계 15.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2}{3}$

단계 16

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 16.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 17

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 17.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 18

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

단계 19