기초 미적분 예제

$x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 3$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$81 + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

단계 4.1.2

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$81 + 6 \cdot - 27 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

단계 4.1.3

$6$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$81 - 162 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

단계 4.1.4

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 - 162 + 11 \cdot 9 + 12 (- 3) + 18$

단계 4.1.5

$11$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$81 - 162 + 99 + 12 (- 3) + 18$

단계 4.1.6

$12$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$81 - 162 + 99 - 36 + 18$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$81$ 에서 $162$ 을 뺍니다.

$- 81 + 99 - 36 + 18$

단계 4.2.2

$- 81$ 를 $99$ 에 더합니다.

$18 - 36 + 18$

단계 4.2.3

$18$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$- 18 + 18$

단계 4.2.4

$- 18$ 를 $18$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- 3$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18}{x + 3}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

	$1$

단계 6.3

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 3)$ 을 피제수 $(6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$	$3$

단계 6.5

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(3)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 9)$ 을 피제수 $(11)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$	$2$

단계 6.7

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 6)$ 을 피제수 $(12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$	$6$

단계 6.9

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(6)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 18)$ 을 피제수 $(18)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (2) x + 6$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 x + 6$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 3) + x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

$(x + 3) x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

단계 8

최대공약수 $x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 3) (x + 3) (x^{2} + 2)$

단계 9

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 9.1

항을 다시 묶습니다.

$6 x^{3} + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

단계 9.2

$6 x^{3} + 12 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.2.1

$6 x^{3}$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x^{2}) + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

단계 9.2.2

$12 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x^{2}) + 6 x (2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

단계 9.2.3

$6 x (x^{2}) + 6 x (2)$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x^{2} + 2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

단계 9.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} + 11 x^{2} + 18 = 0$

단계 9.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$6 x (x^{2} + 2) + u^{2} + 11 u + 18 = 0$

단계 9.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 11 u + 18$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $18$ 이고 합은 $11$ 입니다.

$2, 9$

단계 9.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (u + 9) = 0$

단계 9.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

단계 9.7

$6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ 에서 $x^{2} + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.7.1

$6 x (x^{2} + 2)$ 에서 $x^{2} + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

단계 9.7.2

$(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ 에서 $x^{2} + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 2) (6 x + x^{2} + 9) = 0$

단계 9.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 2) (6 u + u^{2} + 9) = 0$

단계 9.9

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 9.9.1

항을 다시 배열합니다.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 9) = 0$

단계 9.9.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 3^{2}) = 0$

단계 9.9.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

단계 9.9.4

다항식을 다시 씁니다.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

단계 9.9.5

$a = u$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x^{2} + 2) {(u + 3)}^{2} = 0$

단계 9.10

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

단계 10

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 11

$x^{2} + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x^{2} + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 = 0$

단계 11.2

$x^{2} + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 2$

단계 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

단계 11.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 11.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

단계 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

단계 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{2}$

단계 11.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{2}$

단계 11.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{2}$

단계 11.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

단계 12

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 12.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 12.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 13

$(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 3$

단계 14