기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

단계 1

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x - 1}{x}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y - 1}{y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{y - 1}{y} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y} = x$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1$

단계 3.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 3.3

$\frac{y - 1}{y} = x$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{y - 1}{y} = x$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y} y = x y$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y} y = x y$

단계 3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y - 1 = x y$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$y - 1 - x y = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y - x y = 1$

단계 3.4.3

$y - x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 - x y = 1$

단계 3.4.3.2

$- x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 + y (- x) = 1$

단계 3.4.3.3

$y \cdot 1 + y (- x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 - x) = 1$

단계 3.4.4

$y (1 - x) = 1$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$y (1 - x) = 1$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{1 - x}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$ 가 $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})}$

단계 5.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x}{x} - \frac{x - 1}{x}}$

단계 5.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x}}$

단계 5.2.3.3

인수분해된 형태로 $\frac{x - (x - 1)}{x}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

단계 5.2.3.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

단계 5.2.3.3.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{0 + 1}{x}}$

단계 5.2.3.3.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

단계 5.2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = 1 x$

단계 5.2.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{1}{1 - x})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{(\frac{1}{1 - x}) - 1}{\frac{1}{1 - x}}$

단계 5.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} - 1) (1 - x)$

단계 5.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (1 - x)$

단계 5.3.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$- 1$ 와 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}) (1 - x)$

단계 5.3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - (1 - x)}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 \cdot 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6.3

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + 1 x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{0 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.6.5

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.7

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

단계 5.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{1 - x}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$ 은 $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$