기초 미적분 예제

$P (x) = 6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 4, \pm 0.\overline{6}, \pm 3, \pm 1.5, \pm 1.\overline{3}$

단계 1.3

$- 0.\overline{3}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.\overline{3}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 0.\overline{3}$ 을 다항식에 대입합니다.

$6 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.2

$- 0.\overline{3}$ 를 $4$ 승 합니다.

$6 \cdot 0.01234567 - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.3

$6$ 에 $0.01234567$ 을 곱합니다.

$0.\overline{074} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.4

$- 0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$0.\overline{074} - 7 \cdot - 0.\overline{037} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.5

$- 7$ 에 $- 0.\overline{037}$ 을 곱합니다.

$0.\overline{074} + 0.\overline{259} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.6

$0.\overline{074}$ 를 $0.\overline{259}$ 에 더합니다.

$0.\overline{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.7

$- 0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.\overline{3} - 72 \cdot 0.\overline{1} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.8

$- 72$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$0.\overline{3} - 8 + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.9

$0.\overline{3}$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 7.66666666 + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

단계 1.3.10

$13$ 에 $- 0.\overline{3}$ 을 곱합니다.

$- 7.66666666 - 4.33333333 + 12$

단계 1.3.11

$- 7.66666666$ 에서 $4.33333333$ 을 뺍니다.

$- 12 + 12$

단계 1.3.12

$- 12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$- 0.\overline{3}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $3 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12}{3 x + 1}$

단계 1.5

$6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$ 을 $3 x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

단계 1.5.2

피제수 $6 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{4} + 2 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

단계 1.5.7

피제수 $- 9 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$72 x^{2}$	+	$13 x$	+	$12$
			-	$6 x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	-	$72 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

단계 1.5.12

피제수 $- 69 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 69 x^{2} - 23 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

단계 1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

단계 1.5.17

피제수 $36 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

단계 1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

$36 x$

$12$

단계 1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $36 x + 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

$36 x$

$12$

단계 1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

$36 x$

$12$

$0$

단계 1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

단계 1.6

$6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$P (x) = (3 x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12)$

단계 2

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

단계 2.3

$0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

단계 2.3.2

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

단계 2.3.3

$2$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

단계 2.3.4

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

단계 2.3.5

$- 3$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

단계 2.3.6

$0.25$ 에서 $0.75$ 을 뺍니다.

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

단계 2.3.7

$- 23$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$- 0.5 - 11.5 + 12$

단계 2.3.8

$- 0.5$ 에서 $11.5$ 을 뺍니다.

$- 12 + 12$

단계 2.3.9

$- 12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.4

$0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

단계 2.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

단계 2.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

단계 2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

단계 2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

단계 2.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

단계 2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

단계 2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

단계 2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

단계 2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

단계 2.5.12

피제수 $- 24 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

단계 2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

단계 2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 24 x + 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

단계 2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

단계 2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - x - 12$

단계 2.6

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$P (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} - x - 12))$

단계 3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 4, 3$

단계 3.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$P (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)))$

단계 3.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$P (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x - 4) (x + 3))$

단계 3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$P (x) = (3 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x + 3)$