기초 미적분 예제

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{40} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{40} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 7$

$b = 2 \sqrt{10}$

$k = 2$

$h = 2$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(2, 2)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{49 - {(2 \sqrt{10})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$2 \sqrt{10}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{49 - (2^{2} {\sqrt{10}}^{2})}$

단계 5.3.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{49 - (4 {\sqrt{10}}^{2})}$

단계 5.3.2

${\sqrt{10}}^{2}$ 을 $10$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{10}$ 을(를) $10^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{49 - (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{49 - 1 \cdot 4 \cdot 10^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10)}$

단계 5.3.3

$- (4 \cdot 10)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$4$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\sqrt{49 - 1 \cdot 40}$

단계 5.3.3.2

$- 1$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$\sqrt{49 - 40}$

단계 5.3.4

$49$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$\sqrt{9}$

단계 5.3.5

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{3^{2}}$

단계 5.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$3$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(2 + 7, 2)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(9, 2)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(2 - (7), 2)$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- 5, 2)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(2 + 3, 2)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(5, 2)$

단계 7.4

타원의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(2 - (3), 2)$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(- 1, 2)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}}{7}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{49 - {(2 \sqrt{10})}^{2}}}{7}$

단계 8.3.2

$2 \sqrt{10}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{49 - (2^{2} {\sqrt{10}}^{2})}}{7}$

단계 8.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{49 - (4 {\sqrt{10}}^{2})}}{7}$

단계 8.3.4

${\sqrt{10}}^{2}$ 을 $10$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{10}$ 을(를) $10^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{49 - (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{7}$

단계 8.3.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{7}$

단계 8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}}{7}$

단계 8.3.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}}{7}$

단계 8.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 4 \cdot 10^{1}}}{7}$

단계 8.3.4.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10)}}{7}$

단계 8.3.5

$- (4 \cdot 10)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.5.1

$4$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 40}}{7}$

단계 8.3.5.2

$- 1$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{49 - 40}}{7}$

단계 8.3.6

$49$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{9}}{7}$

단계 8.3.7

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{7}$

단계 8.3.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{7}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(2, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

이심률: $\frac{3}{7}$

단계 10