기초 미적분 예제

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y + 4 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$

단계 1.2

$x^{2} + 8 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{4}{1}$

단계 1.2.3.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 4$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4}$

단계 1.2.4.2.1.3

$64$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 16$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 16$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$e = - 16$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x + 4)}^{2} - 16$ 에 대입합니다.

${(x + 4)}^{2} - 16$

단계 1.3

$x^{2} + 8 x$ 를 ${(x + 4)}^{2} - 16$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ 에 대입합니다.

${(x + 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} - 6 y = - 4$

단계 1.4

양변에 $16$ 을 더하여 $- 16$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x + 4)}^{2} - 3 y^{2} - 6 y = - 4 + 16$

단계 1.5

$- 3 y^{2} - 6 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 3$

$b = - 6$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 3}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- 3)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

단계 1.5.3.2.2

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

단계 1.5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{36}{- 12}$

단계 1.5.4.2.1.3

$36$ 을 $- 12$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 3$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 3$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$e = 3$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ 에 대입합니다.

$- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$

단계 1.6

$- 3 y^{2} - 6 y$ 를 $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ 에 대입합니다.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} + 3 = - 4 + 16$

단계 1.7

양변에 $3$ 을 더하여 $3$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = - 4 + 16 - 3$

단계 1.8

$- 4 + 16 - 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$- 4$ 를 $16$ 에 더합니다.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 12 - 3$

단계 1.8.2

$12$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 9$

단계 1.9

각 항을 $9$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 3$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 4$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 4, - 1)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{9 + 3^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{9 + 3}$

단계 5.3.3

$9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\sqrt{12}$

단계 5.3.4

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{4 (3)}$

단계 5.3.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

단계 5.3.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{3}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 1, - 1)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $h$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - a, k)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 7, - 1)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h \pm a, k)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}}{3}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

단계 8.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

단계 8.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

단계 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

단계 8.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

단계 8.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{1}}}{3}$

단계 8.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 3}}{3}$

단계 8.3.3

$9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

단계 8.3.4

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{3}$

단계 8.3.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{3}$

단계 8.3.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

단계 9.3

${\sqrt{3}}^{2}$ 및 $\sqrt{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

${\sqrt{3}}^{2}$ 에서 $\sqrt{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

단계 9.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$2 \sqrt{3}$ 에서 $\sqrt{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

단계 9.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

단계 11.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

단계 11.2.3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

단계 11.2.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3} - 1$

단계 11.2.5

$\sqrt{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

단계 12.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

단계 12.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

단계 12.2.3

$x$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

단계 12.2.4

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

단계 12.2.4.2

$- 4$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} - 1$

단계 12.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 4, - 1)$

꼭짓점: $(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

초점: $(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

이심률: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

초점 변수: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

점근선: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

단계 15