기초 미적분 예제

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

단계 1

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$1 + \sqrt{1 + y} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

단계 3.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

단계 3.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + y}$ 을(를) ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

단계 3.4.2.1.2

간단히 합니다.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

단계 3.4.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

단계 3.4.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

단계 3.4.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 3.4.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 3.4.3.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 3.4.3.1.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

단계 3.4.3.1.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

단계 3.4.3.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

단계 3.4.3.1.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

단계 3.5

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

단계 3.5.2

$x^{2} - 2 x + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = x^{2} - 2 x + 0$

단계 3.5.2.2

$x^{2} - 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = x^{2} - 2 x$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ 가 $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ 을 $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.2

$\sqrt{1 + x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.3

$\sqrt{1 + x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.4

$\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.4.1

$\sqrt{1 + x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.4.2

$\sqrt{1 + x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.5

${\sqrt{1 + x}}^{2}$ 을 $1 + x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x}$ 을(를) ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.1.5.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.3.3

$\sqrt{1 + x}$ 를 $\sqrt{1 + x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

단계 5.2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

단계 5.2.3.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

단계 5.2.4

$2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

단계 5.2.4.2

$0$ 를 $2 \sqrt{1 + x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

단계 5.2.4.3

$2 \sqrt{1 + x}$ 에서 $2 \sqrt{1 + x}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

단계 5.2.4.4

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x^{2} - 2 x)$ 값을 계산합니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

단계 5.3.3

괄호를 제거합니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

단계 5.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

항을 다시 배열합니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

단계 5.3.4.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

단계 5.3.4.1.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

단계 5.3.4.1.4

다항식을 다시 씁니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

단계 5.3.4.1.5

$a = 1$ 이고 $b = x$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

단계 5.3.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

단계 5.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

단계 5.3.5.2

$2$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ 은 $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$