기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x - 5}$

단계 1

$f (x) = \frac{x}{x - 5}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x}{x - 5}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y}{y - 5}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식에 $y - 5$ 을 곱합니다.

$(y - 5) (x) = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 5 x = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$y - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - 5 x = \frac{y}{y - 5} (y - 5)$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - 5 x = y$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y x - 5 x - y = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $5 x$ 를 더합니다.

$y x - y = 5 x$

단계 3.4.3

$y x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - y = 5 x$

단계 3.4.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 1 = 5 x$

단계 3.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 1) = 5 x$

단계 3.4.4

$y (x - 1) = 5 x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$y (x - 1) = 5 x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 x}{x - 1}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ 가 $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x}{x - 5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x}{x - 5})}{(\frac{x}{x - 5}) - 1}$

단계 5.2.3

$5$ 와 $\frac{x}{x - 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1}$

단계 5.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

단계 5.2.4.2

$- 1$ 와 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

단계 5.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - (x - 5)}{x - 5}}$

단계 5.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{x - (x - 5)}{x - 5}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

단계 5.2.4.4.2

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

단계 5.2.4.4.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{0 + 5}{x - 5}}$

단계 5.2.4.4.4

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{5}{x - 5}}$

단계 5.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

단계 5.2.6

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

단계 5.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

단계 5.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

단계 5.2.7

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

단계 5.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{5 x}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{\frac{5 x}{x - 1}}{(\frac{5 x}{x - 1}) - 5}$

단계 5.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

단계 5.3.4.2

$- 5$ 와 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} + \frac{- 5 (x - 1)}{x - 1}}$

단계 5.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

$5 x - 5 (x - 1)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4.1.2

$- 5 (x - 1)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 1))}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4.1.3

$5 (x) + 5 (- (x - 1))$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4.4

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (0 + 1)}{x - 1}}$

단계 5.3.4.4.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 \cdot 1}{x - 1}}$

단계 5.3.4.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x - 1}}$

단계 5.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{5}))$

단계 5.3.6

$\frac{x - 1}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

단계 5.3.7

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

단계 5.3.8

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

단계 5.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ 은 $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$