기초 미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$

단계 1

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 2 x^{2} + x - 6$

단계 2

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$2 x^{2} + x - 6 = y$

단계 3

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$2 x^{2} + x = y + 6$

단계 4

제곱식을 완성합니다.

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단계 4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0 = y + 6$

단계 4.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

단계 4.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 4.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{1}{4}$

단계 4.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 4.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 4.4.2.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{8}$

단계 4.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{8}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{1}{8}$

단계 4.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ 에 대입합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = y + 6$

단계 5

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{8}$ 를 더합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 + \frac{1}{8}$

단계 5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

단계 5.3

$6$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

단계 5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8 + 1}{8}$

단계 5.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{48 + 1}{8}$

단계 5.5.2

$48$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$

단계 6

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

단계 6.2.1.2

${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6.3.1.2

$\frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.2.1

$\frac{49}{8}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8 \cdot 2}$

단계 6.3.1.2.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{16}$

단계 7

인수분해합니다.

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단계 7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

단계 7.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $16$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 7.2.1

$\frac{y}{2}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

단계 7.2.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

단계 7.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 + 49}{16}$

단계 7.4

$y$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{8 y + 49}{16}$

단계 7.5

항을 다시 정렬합니다.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y + 49)$