기초 미적분 예제

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

단계 4.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 - 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 12$

단계 4.1.3

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 12 - 4 \cdot 2 + 12$

단계 4.1.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 - 12 - 8 + 12$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$8$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$- 4 - 8 + 12$

단계 4.2.2

$- 4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 12 + 12$

단계 4.2.3

$- 12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$2$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12}{x - 2}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$

	$1$

단계 6.3

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(- 3)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$
	$1$	$- 1$

단계 6.5

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 2)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$
	$1$	$- 1$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$
	$1$	$- 1$	$- 6$

단계 6.7

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 6)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 12)$ 을 피제수 $(12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$	$- 12$
	$1$	$- 1$	$- 6$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$	$- 12$
	$1$	$- 1$	$- 6$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{2} + - 1 x - 6$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{2} - x - 6$

단계 7

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2$

단계 7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 2) + (x - 3) (x + 2)$

$(x - 2) (x - 3) (x + 2)$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 8.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12 = 0$

단계 8.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0$

단계 8.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$

단계 8.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 8.4

인수분해합니다.

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단계 8.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 8.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 10

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 11

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 12

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 13

$(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 2, 2$

단계 14