기초 미적분 예제

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

단계 1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 5) (x + 15)$ 를 전개합니다.

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단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

단계 1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

단계 1.3.1.3

$- 5$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

단계 1.3.2

$15 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

단계 2

로그의 정의를 이용하여 $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

단계 3.2

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $125$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

단계 3.4

$- 75$ 에서 $125$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

단계 3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 10 x - 200$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 200$ 이고 합은 $10$ 입니다.

$- 10, 20$

단계 3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

단계 3.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

단계 3.7

$x - 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.7.1

$x - 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 10 = 0$

단계 3.7.2

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$x = 10$

단계 3.8

$x + 20$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.8.1

$x + 20$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 20 = 0$

단계 3.8.2

방정식의 양변에서 $20$ 를 뺍니다.

$x = - 20$

단계 3.9

$(x - 10) (x + 20) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 10, - 20$

단계 4

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 10$