기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 (x + h)}}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ 입니다.

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} - (\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ 에 $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

단계 4.1.3.2

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 에 $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}}{h}$

단계 4.1.3.3

$(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5

인수분해된 형태로 $\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.5.1

$20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.5.1.1

$- 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.1.2

$20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 \cdot 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.4

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} + 0 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.6

$9 e^{- 3 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7

인수분해된 형태로 $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.5.7.1

$9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.5.7.1.1

$9 e^{- 3 x}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.1.2

$- 9 e^{- 3 x - 3 h}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.1.3

$9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h})$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.2

$e^{- 3 x}$ 을 ${(e^{- x})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.3

$e^{- 3 x - 3 h}$ 을 ${(e^{- x - h})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - {(e^{- x - h})}^{3}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e^{- x}$ 이고 $b = e^{- x - h}$ 입니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) ({(e^{- x})}^{2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5

간단히 합니다.

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단계 4.1.5.7.5.1

${(e^{- x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.5.7.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- x \cdot 2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.2

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{- x - h}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.5.7.5.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x - x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.2.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.3

${(e^{- x - h})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.5.7.5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{(- x - h) \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.7.5.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 \cdot 9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.1.5.8

$20$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

조합합니다.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}) \cdot 1}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$180$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

단계 4.4.2

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{h (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$

단계 5