기초 미적분 예제

$f (x) = 2 x^{- \frac{14}{5}}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{- \frac{14}{5}}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (x + h) = 2 (\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}})$

단계 2.1.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ 입니다.

$\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} - (\frac{2}{x^{\frac{14}{5}}})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ 에 $\frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.3.2

$\frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$ 에 $\frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.3.3

${(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}} - \frac{2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}} - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.5.1

$2 x^{\frac{14}{5}} - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.5.1.1

$2 x^{\frac{14}{5}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}}) - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.5.1.2

$- 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}}) + 2 (- {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.5.1.3

$2 (x^{\frac{14}{5}}) + 2 (- {(x + h)}^{\frac{14}{5}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}} - {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.5.2

$x^{\frac{14}{5}}$ 을 ${(x^{\frac{7}{5}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{2 ({(x^{\frac{7}{5}})}^{2} - {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.5.3

${(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ 을 ${({(x + h)}^{\frac{7}{5}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{2 ({(x^{\frac{7}{5}})}^{2} - {({(x + h)}^{\frac{7}{5}})}^{2})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.1.5.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{\frac{7}{5}}$ 이고 $b = {(x + h)}^{\frac{7}{5}}$ 입니다.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

조합합니다.

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) \cdot 1}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$

단계 4.4.2

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{h x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

단계 5