기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\frac{x + h - 3}{x + h}$ 입니다.

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + h - 3}{x + h}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x - 3}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{x + h - 3}{x + h}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 4.1.3.2

$\frac{x - 3}{x}$ 에 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.3.3

$(x + h) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5

인수분해된 형태로 $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 3) (x + h)$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.5.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.5.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.7

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.8

$h x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.9

$h x$ 에서 $x h$ 을 뺍니다.

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단계 4.1.5.9.1

$h$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.9.2

$x h$ 에서 $x h$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.10

$- 3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.11

$- 3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.12

$0$ 를 $3 h$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{x (x + h)}$

단계 5