기초 미적분 예제

$h (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$h (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 1$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

이항정리 이용

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.2

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 ((x + h) (x + h)) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x (x + h) + h (x + h)) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.4.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.4.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.4.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 1$

단계 2.1.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$h (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 1$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 1$ 입니다.

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 1$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 1$

단계 2.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 1$

단계 2.2.3

$- x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - h - x - 1$

단계 2.2.4

$2 x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - h - x - 1$

단계 2.2.5

$4 h x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1$

단계 2.2.6

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1$

단계 2.2.7

$3 h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1$

단계 2.2.8

$3 h^{2} x$ 와 $h^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$h (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1$

$h (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

$h (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1$

$h (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{h (x + h) - h x}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - (x^{3} + 2 x^{2} - x - 1)}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - x^{3} - (2 x^{2}) - - x - - 1}{h}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - x^{3} - 2 x^{2} - - x - - 1}{h}$

단계 4.1.2.2

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 x - - 1}{h}$

단계 4.1.2.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - x^{3} - 2 x^{2} + x - - 1}{h}$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{h}$

단계 4.1.3

$x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 + 0 - 2 x^{2} + x + 1}{h}$

단계 4.1.4

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - h - x - 1 - 2 x^{2} + x + 1}{h}$

단계 4.1.5

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h - x - 1 + 0 + x + 1}{h}$

단계 4.1.6

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h - x - 1 + x + 1}{h}$

단계 4.1.7

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h + 0 - 1 + 1}{h}$

단계 4.1.8

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h - 1 + 1}{h}$

단계 4.1.9

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h + 0}{h}$

단계 4.1.10

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h}{h}$

단계 4.1.11

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.11.1

$h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h}{h}$

단계 4.1.11.2

$3 h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x - h}{h}$

단계 4.1.11.3

$3 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h^{2} + 4 h x - h}{h}$

단계 4.1.11.4

$2 h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (2 h) + 4 h x - h}{h}$

단계 4.1.11.5

$4 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) - h}{h}$

단계 4.1.11.6

$- h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot - 1}{h}$

단계 4.1.11.7

$h (h^{2}) + h (3 h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot - 1}{h}$

단계 4.1.11.8

$h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot - 1}{h}$

단계 4.1.11.9

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (2 h)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h) + h (4 x) + h \cdot - 1}{h}$

단계 4.1.11.10

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h) + h (4 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot - 1}{h}$

단계 4.1.11.11

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot - 1$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h + 4 x - 1)}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h + 4 x - 1)}{h}$

단계 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h + 4 x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2 h + 4 x - 1$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$h$ 를 옮깁니다.

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2 h + 4 x - 1$

단계 4.2.2.2

$2 h$ 를 옮깁니다.

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 4 x + 2 h - 1$

단계 4.2.2.3

$h^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 4 x + 2 h - 1$

단계 4.2.2.4

$3 x h$ 와 $3 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 4 x + 2 h - 1$

단계 5