기초 미적분 예제

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

단계 3.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

${\sqrt[3]{y}}^{5}$ 을 $\sqrt[3]{y^{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

단계 3.1.2.2

$y^{3}$ 로 인수분해합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

단계 3.1.2.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

단계 3.1.3

$10$ 를 $5$ 승 합니다.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

단계 3.2

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

단계 3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{y^{2}}$ 을(를) $y^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

단계 3.4

방정식의 양변에 $100000$ 을 곱합니다.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

단계 3.5

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$100000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

단계 3.5.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

단계 3.5.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.2.1

$y$ 에 $y^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.2.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

단계 3.5.1.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

단계 3.5.1.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

단계 3.5.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

단계 3.5.1.2.4

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

단계 3.6

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{3}{5}$ 승합니다.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.1.1.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.1.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.1.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1.1

$100000 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.2.1.1.2

$100000$ 을 $10^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.2.1.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.2.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

단계 3.7.2.1.3

$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ 가 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

단계 5.2.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

단계 5.2.3.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

단계 5.2.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

단계 5.2.3.2

$\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

단계 5.2.4

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

단계 5.2.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

단계 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

단계 5.2.4.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

단계 5.2.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

단계 5.2.4.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

단계 5.2.5

$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

단계 5.2.6

$1000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

단계 5.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ 값을 계산합니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$1000 x^{\frac{3}{5}}$ 을 ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

단계 5.3.3.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

단계 5.3.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

단계 5.3.4.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$x^{\frac{1}{5}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

단계 5.3.4.2.2

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

단계 5.3.4.2.2.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

단계 5.3.4.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ 은 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$