기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

단계 1

식 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\ln (2)$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\ln (2)$ 이므로 $x = \ln (2)$ 는 수직점근선입니다.

$x = \ln (2)$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\ln (3)$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\ln (3)$ 이므로 $x = \ln (3)$ 는 수직점근선입니다.

$x = \ln (3)$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = \ln (2), \ln (3)$

단계 5

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

단계 5.1.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

단계 5.1.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

단계 5.2

지수 $2 x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{2 x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

단계 5.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

단계 5.3.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

단계 5.4

지수 $2 x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{2 x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

단계 5.5

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

단계 5.6

지수 $x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

단계 5.7

극한값을 계산합니다.

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단계 5.7.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

단계 5.7.2

답을 간단히 합니다.

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단계 5.7.2.1

$3 \cdot 0 + 2$ 및 $0 - 5 \cdot 0 + 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1.1

$0$ 을 $- 1 (0)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

단계 5.7.2.1.2

$- 5 \cdot 0$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

단계 5.7.2.1.3

$- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

단계 5.7.2.1.4

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

단계 5.7.2.1.5

$- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

단계 5.7.2.1.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

단계 5.7.2.1.7

$3 \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

단계 5.7.2.1.8

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

단계 5.7.2.1.9

$2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

단계 5.7.2.1.10

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1.10.1

$- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

단계 5.7.2.1.10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

단계 5.7.2.1.10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

단계 5.7.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

단계 5.7.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

단계 5.7.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.3.1

$0$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

단계 5.7.2.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

단계 5.7.2.3.3

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

단계 5.7.2.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 6

수평점근선 나열:

$y = \frac{1}{3}$

단계 7

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 8

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = \ln (2), \ln (3)$

수평점근선: $y = \frac{1}{3}$

사선점근선 없음

단계 9