기초 미적분 예제

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

단계 1

각 항 사이의 비가 일정하므로 등비수열입니다. 이 경우 수열의 한 항에 $\frac{1}{3}$ 을 곱하면 다음 항이 나옵니다. 즉, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 입니다.

등비수열: $r = \frac{1}{3}$

단계 2

등비수열 공식 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 을 사용하여 항 $n$ 의 수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

첫 번째 항, 마지막 항, 두 항의 비율을 공식에 대입합니다.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

단계 2.2

$n$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

단계 2.2.2

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

단계 2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

단계 2.2.2.2.1.2

${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

단계 2.2.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

단계 2.2.2.2.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

단계 2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

단계 2.2.2.3.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

단계 2.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

단계 2.2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

단계 2.2.2.3.3

$\frac{1}{243}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

단계 2.2.2.3.4

$243$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

단계 2.2.3

양변에 $3^{n - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$3^{n - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

단계 2.2.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

단계 2.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$\frac{1}{729}$ 와 $3^{n - 1}$ 을 묶습니다.

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

단계 2.2.5

$n$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

단계 2.2.5.2

방정식의 양변에 $729$ 을 곱합니다.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

단계 2.2.5.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.1

$729$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

단계 2.2.5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

단계 2.2.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.2.1

$729$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3^{n - 1} = 729$

단계 2.2.5.4

방정식에서 지수의 밑이 모두 같은 동일한 수식이 되도록 만듭니다.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

단계 2.2.5.5

밑이 같으므로 지수가 같을 경우에만 두 식은 같습니다.

$n - 1 = 6$

단계 2.2.5.6

$n$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.6.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$n = 6 + 1$

단계 2.2.5.6.2

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$n = 7$

단계 3

등비수열 합 공식 $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ 을 사용하여 합을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

첫 번째 항, 비율, 항의 수를 합 공식에 대입합니다.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.3

$3$ 를 $7$ 승 합니다.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2187}{2187}$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.5

$- 1$ 와 $\frac{2187}{2187}$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

$- 1$ 에 $2187$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.7.2

$1$ 에서 $2187$ 을 뺍니다.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.9

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.9.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.9.2

$- 12$ 와 $\frac{2186}{2187}$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.9.3

$- 12$ 에 $2186$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10

$- 26232$ 및 $2187$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.10.1

$- 26232$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.10.2.1

$2187$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.12

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.12.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.12.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.12.3

$\frac{8744}{729}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.4.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

단계 3.2.2.4.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

단계 3.2.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

단계 3.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

단계 3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

단계 3.2.4.2

$8744$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

단계 3.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

단계 3.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

단계 3.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$729$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

단계 3.2.5.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

단계 3.2.5.3

공약수로 약분합니다.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

단계 3.2.5.4

수식을 다시 씁니다.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

단계 3.2.6

$\frac{4372}{243}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

단계 3.2.7

$4372$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

단계 3.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$