기초 미적분 예제

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 5 x^{3} + 5$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 5 y^{3} + 5$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5 y^{3} + 5 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 y^{3} + 5 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$5 y^{3} = x - 5$

단계 3.3

$5 y^{3} = x - 5$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$5 y^{3} = x - 5$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

단계 3.3.2.1.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$- 5$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

단계 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

단계 3.5.2

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

단계 3.5.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

단계 3.5.5

$\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

단계 3.5.6

$\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

단계 3.5.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

단계 3.5.7.2

$\sqrt[3]{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

단계 3.5.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

단계 3.5.7.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

단계 3.5.7.5

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.5.7.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.5.7.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.5.7.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

단계 3.5.7.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

단계 3.5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1

${\sqrt[3]{5}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{5^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

단계 3.5.8.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

단계 3.5.9

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

단계 3.5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ 가 $f (x) = 5 x^{3} + 5$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

단계 5.2.3.2

$5 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

단계 5.2.3.3

$25$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

단계 5.2.3.4

$125 x^{3}$ 을 ${(5 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

단계 5.2.3.5

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

단계 5.2.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ 을 $25 (x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ 을(를) ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.1.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.3

$25$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.4

$25 x - 125$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.4.1

$25 x$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.4.2

$- 125$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.2.4.3

$25 x + 25 \cdot - 5$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

단계 5.3.3.3

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

단계 5.3.3.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

$125$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

단계 5.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

단계 5.3.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

단계 5.3.3.5

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

단계 5.3.3.5.2

$x - 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

단계 5.3.4

$x - 5 + 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ 은 $f (x) = 5 x^{3} + 5$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$