기초 미적분 예제

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 2$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 2$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 2, 1)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

단계 5.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 + 9}$

단계 5.3.3

$4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\sqrt{13}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 2, 3)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $k$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - a)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 2, - 1)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h, k \pm a)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(- 2, 3), (- 2, - 1)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 2, 1 + \sqrt{13})$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 2, 1 - \sqrt{13})$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

단계 8.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

단계 8.3.3

$4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

단계 9.3.2

$\frac{9}{\sqrt{13}}$ 에 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

단계 9.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$\frac{9}{\sqrt{13}}$ 에 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

단계 9.3.3.2

$\sqrt{13}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

단계 9.3.3.3

$\sqrt{13}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

단계 9.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

단계 9.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

단계 9.3.3.6

${\sqrt{13}}^{2}$ 을 $13$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{13}$ 을(를) $13^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.3.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

단계 9.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

단계 9.3.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

단계 10

쌍곡선이 위아래로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

단계 11.2

$\frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

단계 11.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

단계 11.2.1.3

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

단계 11.2.1.4

$\frac{2}{3} \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

$\frac{2}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 1$

단계 11.2.1.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 1$

단계 11.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

단계 11.2.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3}{3}$

단계 11.2.2.3

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

단계 12.2

$- \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

단계 12.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

단계 12.2.1.3

$x$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

단계 12.2.1.4

$- \frac{2}{3} \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 (\frac{2}{3}) + 1$

단계 12.2.1.4.2

$- 2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} + 1$

단계 12.2.1.4.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

단계 12.2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.5.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = - \frac{2 \cdot x}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

단계 12.2.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 1$

단계 12.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

단계 12.2.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3}{3}$

단계 12.2.2.3

$- 4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 12.2.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 2, 1)$

꼭짓점: $(- 2, 3), (- 2, - 1)$

초점: $(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

이심률: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

초점 변수: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

점근선: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 15