기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

단계 1

식 $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

단계 2

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.2.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $7$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.2.2

$e^{3 x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $3$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.2.1

상수 배수 $3$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.2.2.2

지수 $3 x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{3 x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.2.3

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.3.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.1.3.2

$e^{3 x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $8$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1

상수 배수 $8$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

단계 2.1.1.3.2.2

지수 $3 x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{3 x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

단계 2.1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.3.1

0이 아닌 상수 곱하기 무한대는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

단계 2.1.1.3.3.2

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.1.1.3.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.1.1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2.1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.2

합의 법칙에 의해 $7 + 3 e^{3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{3 x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.4.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.5

$0$ 를 $9 e^{3 x}$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.6

합의 법칙에 의해 $4 - 8 e^{3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.7

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.8

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.8.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 e^{3 x}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

단계 2.1.3.8.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.8.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

단계 2.1.3.8.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

단계 2.1.3.8.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

단계 2.1.3.8.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

단계 2.1.3.8.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

단계 2.1.3.8.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

단계 2.1.3.8.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

단계 2.1.3.8.7

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

단계 2.1.3.9

$0$ 에서 $24 e^{3 x}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

단계 2.1.4

소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$9$ 및 $- 24$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1.1

$9 e^{3 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

단계 2.1.4.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1.2.1

$- 24 e^{3 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

단계 2.1.4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

단계 2.1.4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.4.2

$e^{3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

단계 2.1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

단계 2.2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{3}{- 8}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3}{- 8}$

단계 2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{8}$

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 3.1.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 3.1.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $7$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 3.1.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 3.2

지수 $3 x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{3 x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

단계 3.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

단계 3.3.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

단계 3.3.3

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

단계 3.4

지수 $3 x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{3 x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

단계 3.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

단계 3.5.1.2

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

단계 3.5.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{4 + 0}$

단계 3.5.2.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{7}{4}$

단계 4

수평점근선 나열:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

단계 5

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

수평점근선: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

사선점근선 없음

단계 7