선형 대수 예제

$x + y + z = 2$ , $4 x + 9 y + z = 16$ , $x - 4 y + 4 z = 4$

Step 1

연립방정식으로부터 $A X = B$ 를 구합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 9 & 1 \\ 1 & - 4 & 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 16 \\ 4 \end{array}]$

Step 2

계수행렬의 역행렬을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

동일한 크기의 두 개의 행렬로 나뉜 행렬을 만듭니다. 왼쪽에는 원래 행렬의 원소를 적습니다. 오른쪽에는 단위행렬의 원소를 적습니다. 역행렬을 구하기 위해 행연산을 사용하여 왼쪽을 단위행렬로 만듭니다. 연산이 완료되면 이중행렬의 오른쪽에 원래 행렬의 역행렬이 계산됩니다

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 4 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} & - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & - 4 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 & (- 4) \cdot (1) + 9 & (- 4) \cdot (1) + 1 & (- 4) \cdot (1) + 0 & (- 4) \cdot (0) + 1 & (- 4) \cdot (0) + 0 \\ 1 & - 4 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 3 & - 4 & 1 & 0 \\ 1 & - 4 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 3 & - 4 & 1 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 3 & - 4 & 1 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) - 4 & (- 1) \cdot (1) + 4 & (- 1) \cdot (1) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 3 & - 4 & 1 & 0 \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = \frac{1}{5} R_{2}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = \frac{1}{5} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} R_{2} & \frac{1}{5} R_{2} & \frac{1}{5} R_{2} & \frac{1}{5} R_{2} & \frac{1}{5} R_{2} & \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{5} R_{2}$

행연산 $R_{2} = \frac{1}{5} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (\frac{1}{5}) \cdot (0) & (\frac{1}{5}) \cdot (5) & (\frac{1}{5}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{5}) \cdot (- 4) & (\frac{1}{5}) \cdot (1) & (\frac{1}{5}) \cdot (0) \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{5} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{3}{5}) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{4}{5}) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{1}{5}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 5 & 3 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 5 \cdot R_{2} + R_{3} & 5 \cdot R_{2} + R_{3} & 5 \cdot R_{2} + R_{3} & 5 \cdot R_{2} + R_{3} & 5 \cdot R_{2} + R_{3} & 5 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ (5) \cdot (0) + 0 & (5) \cdot (1) - 5 & (5) \cdot (- \frac{3}{5}) + 3 & (5) \cdot (- \frac{4}{5}) - 1 & (5) \cdot (\frac{1}{5}) + 0 & (5) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & 1 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - \frac{1}{5} R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - \frac{1}{5} R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{3} & - \frac{1}{5} R_{3} & - \frac{1}{5} R_{3} & - \frac{1}{5} R_{3} & - \frac{1}{5} R_{3} & - \frac{1}{5} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{5} R_{3}$

행연산 $R_{3} = - \frac{1}{5} R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{5} R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{9}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{9}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{9}{5}) \cdot (0) + \frac{8}{5} & (- \frac{9}{5}) \cdot (1) + \frac{9}{5} & (- \frac{9}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) - \frac{1}{5} & (- \frac{9}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{9}{5} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & 0 & \frac{4}{25} & \frac{9}{25} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = \frac{4}{5} R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = \frac{4}{5} R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & 0 & \frac{4}{25} & \frac{9}{25} \\ \frac{4}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{4}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{4}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{4}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{4}{5} R_{3} + R_{2} & \frac{4}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

$R_{2} = \frac{4}{5} R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = \frac{4}{5} R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & 0 & \frac{4}{25} & \frac{9}{25} \\ (\frac{4}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{4}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{4}{5}) \cdot (0) - \frac{3}{5} & (\frac{4}{5}) \cdot (1) - \frac{4}{5} & (\frac{4}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) + \frac{1}{5} & (\frac{4}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

$R_{2} = \frac{4}{5} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{5} & 0 & \frac{4}{25} & \frac{9}{25} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{5} & 0 & \frac{1}{25} & - \frac{4}{25} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

행렬의 행렬식이 0이므로 역행렬이 존재하지 않습니다.

역이 존재하지 않음

Step 3

이 행렬은 역이 존재하지 않으므로 역행렬을 이용해 풀 수 없습니다.

해 없음