선형 대수 예제

$\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = \frac{4}{5}$ , $\frac{x}{6} - \frac{y}{2} = \frac{5}{6}$

단계 1

연립방정식으로부터 $A X = B$ 를 구합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{5}{6} \end{array}]$

단계 2

계수행렬의 역행렬을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

단계 2.2

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5}$

단계 2.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5}$

단계 2.2.2.1.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5}$

단계 2.2.2.1.2

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{5 \cdot 6}$

단계 2.2.2.1.2.2

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{30}$

단계 2.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{1}{30}$

단계 2.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{30}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{1}{30} \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.2.2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $60$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.4.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$- \frac{15}{4 \cdot 15} - \frac{1}{30} \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.2.2.4.2

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$- \frac{15}{60} - \frac{1}{30} \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.2.2.4.3

$\frac{1}{30}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{15}{60} - \frac{2}{30 \cdot 2}$

단계 2.2.2.4.4

$30$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{15}{60} - \frac{2}{60}$

단계 2.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 15 - 2}{60}$

단계 2.2.2.6

$- 15$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 17}{60}$

단계 2.2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{17}{60}$

단계 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

단계 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{17}{60}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.5

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{17}{60}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{\frac{17}{60}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (1 (\frac{60}{17})) [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.7

$\frac{60}{17}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{60}{17} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.8

행렬의 각 원소에 $- \frac{60}{17}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{60}{17} (- \frac{1}{2}) & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.1.1

$- \frac{60}{17}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 60}{17} (- \frac{1}{2}) & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.1.2

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 60}{17} \cdot \frac{- 1}{2} & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.1.3

$- 60$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 30)}{17} \cdot \frac{- 1}{2} & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.1.4

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 30}{17} \cdot \frac{- 1}{2} & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.1.5

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 30}{17} \cdot - 1 & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.2

$\frac{- 30}{17}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 30 \cdot - 1}{17} & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.3

$- 30$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & - \frac{60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.1

$- \frac{60}{17}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{- 60}{17} (- \frac{1}{5}) \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.4.2

$- \frac{1}{5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{- 60}{17} \cdot \frac{- 1}{5} \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.4.3

$- 60$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{5 (- 12)}{17} \cdot \frac{- 1}{5} \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.4.4

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{5 \cdot - 12}{17} \cdot \frac{- 1}{5} \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.4.5

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{- 12}{17} \cdot - 1 \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.5

$\frac{- 12}{17}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{- 12 \cdot - 1}{17} \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.6

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ - \frac{60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.7

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.7.1

$- \frac{60}{17}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{- 60}{17} (- \frac{1}{6}) & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.7.2

$- \frac{1}{6}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{- 60}{17} \cdot \frac{- 1}{6} & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.7.3

$- 60$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{6 (- 10)}{17} \cdot \frac{- 1}{6} & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.7.4

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{6 \cdot - 10}{17} \cdot \frac{- 1}{6} & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.7.5

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{- 10}{17} \cdot - 1 & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.8

$\frac{- 10}{17}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{- 10 \cdot - 1}{17} & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.9

$- 10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & - \frac{60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.10.1

$- \frac{60}{17}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & \frac{- 60}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.10.2

$- 60$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & \frac{2 (- 30)}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.10.3

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & \frac{2 \cdot - 30}{17} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 2.9.10.4

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & \frac{- 30}{17} \end{array}]$

단계 2.9.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & - \frac{30}{17} \end{array}]$

단계 3

행렬 방정식의 양변의 왼쪽에 역행렬을 곱합니다.

$([\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & - \frac{30}{17} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & - \frac{30}{17} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{5}{6} \end{array}]$

단계 4

어떤 행렬과 그 행렬의 역을 곱하면 항상 $1$ 이 됩니다. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & - \frac{30}{17} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{5}{6} \end{array}]$

단계 5

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} & \frac{12}{17} \\ \frac{10}{17} & - \frac{30}{17} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{5}{6} \end{array}]$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

단계 5.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{12}{17} \cdot \frac{5}{6} \\ \frac{10}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{30}{17} \cdot \frac{5}{6} \end{array}]$

단계 5.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}]$

단계 6

좌변과 우변을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}]$

단계 7

해를 구합니다.

$x = 2$

$y = - 1$