선형 대수 예제

$\frac{1}{49} x^{2} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1}{49}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

단계 1.2

$\frac{1}{9}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

단계 2

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2}}{49}$ 를 뺍니다.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{49}$

단계 3

방정식의 양변에 $9$ 을 곱합니다.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

단계 4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

단계 4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

단계 4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

단계 4.2.1.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 9 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

단계 4.2.1.3

$9 (- \frac{x^{2}}{49})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 9 - 9 \frac{x^{2}}{49}$

단계 4.2.1.3.2

$- 9$ 와 $\frac{x^{2}}{49}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 9 + \frac{- 9 x^{2}}{49}$

단계 4.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = 9 - \frac{9 x^{2}}{49}$

단계 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$

단계 6

$\pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{9 x^{2}}{49}}$

단계 6.1.2

$\frac{9 x^{2}}{49}$ 을 ${(\frac{3 x}{7})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 x}{7})}^{2}}$

단계 6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = \frac{3 x}{7}$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.3

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.4

$3$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.6

$3 \cdot 7 + 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$3 \cdot 7$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.6.2

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 (x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.6.3

$3 (7) + 3 (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.7

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.8

$3$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

단계 6.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7 - 3 x}{7}}$

단계 6.10

$3 \cdot 7 - 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.1

$3 \cdot 7$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{7}}$

단계 6.10.2

$- 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{7}}$

단계 6.10.3

$3 (7) + 3 (- x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7 - x)}{7}}$

단계 6.11

$\frac{3 (7 + x)}{7}$ 에 $\frac{3 (7 - x)}{7}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x) (3 (7 - x))}{7 \cdot 7}}$

단계 6.12

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{7 \cdot 7}}$

단계 6.12.2

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}}$

단계 6.13

$\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}$ 을 ${(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.13.1

$9 (7 + x) (7 - x)$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{49}}$

단계 6.13.2

$49$ 에서 완전제곱인 $7^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}}$

단계 6.13.3

분수 $\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))}$

단계 6.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

단계 6.15

$\frac{3}{7}$ 와 $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

단계 7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

단계 7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

단계 8

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

단계 9.2

$7 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$7 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 + x = 0$

단계 9.2.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 9.3

$7 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$7 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 - x = 0$

단계 9.3.2

$7 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$- x = - 7$

단계 9.3.2.2

$- x = - 7$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

$- x = - 7$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

단계 9.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

단계 9.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 7}{- 1}$

단계 9.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.3.1

$- 7$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 7$

단계 9.4

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 7, 7$

단계 9.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

단계 9.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 9.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

단계 9.6.1.3

좌변 $- 51$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.6.2

$- 7 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.2.1

$- 7 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

단계 9.6.2.3

좌변 $49$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.6.3

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.3.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 9.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

단계 9.6.3.3

좌변 $- 51$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 7$ 거짓

$- 7 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

$x < - 7$ 거짓

$- 7 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

단계 9.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 7 \leq x \leq 7$

단계 10

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 7, 7]$

조건제시법:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

단계 11