유한 수학 예제

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

단계 1

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.2

$x^{4} - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.2.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.2.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.5

$- 5 x^{3} - 25 x - 30$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$- 5 x^{3}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

단계 2.1.5.2

$- 25 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

단계 2.1.5.3

$- 30$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

단계 2.1.5.4

$5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

단계 2.1.5.5

$5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

단계 2.1.6

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

유리근 정리르 이용하여 $- x^{3} - 5 x - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

단계 2.1.6.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

단계 2.1.6.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

단계 2.1.6.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

단계 2.1.6.1.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

단계 2.1.6.1.3.4

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 - 6$

단계 2.1.6.1.3.5

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$6 - 6$

단계 2.1.6.1.3.6

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.6.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

단계 2.1.6.1.5

$- x^{3} - 5 x - 6$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

단계 2.1.6.1.5.2

피제수 $- x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

단계 2.1.6.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.1.6.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.1.6.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

단계 2.1.6.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

단계 2.1.6.1.5.7

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

단계 2.1.6.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

단계 2.1.6.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

단계 2.1.6.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

단계 2.1.6.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

단계 2.1.6.1.5.12

피제수 $- 6 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

단계 2.1.6.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

단계 2.1.6.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 x - 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

단계 2.1.6.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

단계 2.1.6.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} + x - 6$

단계 2.1.6.1.6

$- x^{3} - 5 x - 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

단계 2.1.7

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1

$x^{2} (x + 1) (x - 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

단계 2.1.7.2

$5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.7.3

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.9

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.9.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.9.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.10

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.11

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 2.1.12

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

단계 2.1.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.13.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

단계 2.1.13.2

$5$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

단계 2.1.14

$- x^{2}$ 에서 $5 x^{2}$ 을 뺍니다.

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

단계 2.1.15

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

인수분해된 형태로 $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

단계 2.1.15.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

단계 2.1.15.1.2

최대공약수 $x - 6$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

단계 2.1.15.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

단계 2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.4

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 2.5

$x^{2} + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 5 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 5$

단계 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

단계 2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

단계 2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

단계 2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{5}$

단계 2.5.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{5}$

단계 2.5.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{5}$

단계 2.5.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

단계 2.6

최종 해는 $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = - 1$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 6$ ( $1$ 의 중복도)

$x = i \sqrt{5}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - i \sqrt{5}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 1$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 6$ ( $1$ 의 중복도)

$x = i \sqrt{5}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - i \sqrt{5}$ ( $1$ 의 중복도)

단계 3