유한 수학 예제

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

단계 2

$- 7$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - 4 = 0$

단계 3

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$2 x^{2} = 4$

단계 4

$2 x^{2} = 4$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2 x^{2} = 4$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

단계 4.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{4}{2}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 2$

단계 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 7

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 8

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 9

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 10

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

단계 11

해를 하나로 합합니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

단계 12

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

단계 12.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

단계 12.2.2

${(x - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

${(x - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 12.2.2.2

${(x - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 12.2.2.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 12.2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 12.2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 12.2.4

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 1$

단계 12.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

단계 13

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

단계 14

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$x < - \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$x < - \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 14.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

단계 14.1.3

좌변 $- 0.\overline{259}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 14.2

$- \sqrt{2} < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$- \sqrt{2} < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1.21$

단계 14.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1.21$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

단계 14.2.3

좌변 $0.49531832$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.3

$- 1 < x < \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$- 1 < x < \sqrt{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 14.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

단계 14.3.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 14.4

$\sqrt{2} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$\sqrt{2} < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.71$

단계 14.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.71$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

단계 14.4.3

좌변 $8.10930582$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.5

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 14.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

단계 14.5.3

좌변 $1.4$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \sqrt{2}$ 참

$- \sqrt{2} < x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < \sqrt{2}$ 참

$\sqrt{2} < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 거짓

$x < - \sqrt{2}$ 참

$- \sqrt{2} < x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < \sqrt{2}$ 참

$\sqrt{2} < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 거짓

단계 15

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - \sqrt{2}$ 또는 $- 1 < x < \sqrt{2}$

단계 16

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

구간 표기:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

단계 17